Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
O operador T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) definido por T(x, y, z)=(x+y+z, y-2 x, x) é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear
T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z)=(x+y+z,\;y-2x,\;x)
é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Para isso precisamos
  1. montar a matriz de T na base canônica;
  2. calcular o polinômio característico e encontrar os autovalores;
  3. ver quantos autovalores reais distintos existem (ou seja, quantos autovetores reais independentes podemos obter);
  4. concluir sobre a existência de uma base de autovetores em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Na base canônica e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) temos
T(e_1)= (1,-2,1),\quad T(e_2)=(1,1,0),\quad T(e_3)=(1,0,0),
logo a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ -2& 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico vem de \det(A-\lambda I)=0. Calculando,
\det\!\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 1\\\\ -2 &1-\lambda & 0\\\\ 1 &0 &-\lambda \end{pmatrix} =-\lambda^3+2\lambda^2-2\lambda-1
ou seja
\chi_A(\lambda)=\lambda^3-2\lambda^2+2\lambda+1.

Passo 4

Procuramos raízes reais de \chi_A(\lambda). Testando \lambda=\pm1 vemos que não são raízes. Análise de sinal mostra que há exatamente uma raiz real (aproximadamente \lambda_1\approx -0,35) e as outras duas são complexas conjugadas (o discriminante do fator quadrático é negativo).

Passo 5

Como sobre \mathbb{R} só existe um autovalor real, não conseguimos obter três autovetores reais linearmente independentes. Portanto não há base real de autovetores e T não é diagonalizável em \mathbb{R}^3.

Resposta

Falsa. T não é diagonalizável sobre \mathbb{R} porque seu polinômio característico tem apenas um autovalor real e dois complexos.

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