Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
O operador T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) definido por T(x, y, z)=(x+y+z, y-2 x, x) é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear
Procuramos raízes reais de \chi_A(\lambda). Testando \lambda=\pm1 vemos que não são raízes. Análise de sinal mostra que há exatamente uma raiz real (aproximadamente \lambda_1\approx -0,35) e as outras duas são complexas conjugadas (o discriminante do fator quadrático é negativo).
Passo 5
Como sobre \mathbb{R} só existe um autovalor real, não conseguimos obter três autovetores reais linearmente independentes. Portanto não há base real de autovetores e Tnão é diagonalizável em \mathbb{R}^3.
Resposta
Falsa. T não é diagonalizável sobre \mathbb{R} porque seu polinômio característico tem apenas um autovalor real e dois complexos.