Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Seja T(A)=A-A^{t} um operador linear em M_{2 \times 2}(\mathbb{R}). Então T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon M_{2\times2}(\mathbb{R})\to M_{2\times2}(\mathbb{R}),\quad T(A)=A - A^{t},
e pede para verificar se T é diagonalizável.
Conteúdo: diagonalização de operadores lineares finito-dimensionais.
O que vamos precisar: encontrar autovalores, autovetores (subespaços próprios) e conferir se a soma das dimensões dos autespaços é igual à dimensão total de M_{2\times2}(\mathbb{R}), que é 4.

Passo 2

Observe que toda matriz A pode ser escrita como soma de uma parte simétrica
S=\tfrac12(A + A^{t})
e de uma parte antissimétrica
K=\tfrac12(A - A^{t}),
ou seja, A=S+K com S^{t}=S e K^{t}=-K. Então
T(A)=A - A^{t}=(S+K)-(S+K)^{t}=S+K -S +K=2K.
Logo, T anula toda parte simétrica e duplica a parte antissimétrica.

Passo 3

O subespaço das matrizes simétricas
\mathcal S=\{S\in M_{2\times2}(\mathbb{R})\mid S^{t}=S\}
é formado por todas as matrizes de formato \bigl(\begin{smallmatrix}a & b\b & d\end{smallmatrix}\bigr),
logo \dim\mathcal S=3. Para S\in\mathcal S vale
T(S)=2\cdot0=0,
ou seja, S é autovetor de autovalor \lambda=0.

Passo 4

O subespaço das matrizes antissimétricas
\mathcal K=\{K\in M_{2\times2}(\mathbb{R})\mid K^{t}=-K\}
é formado por todas as matrizes de formato \bigl(\begin{smallmatrix}0 & x\\\ -x & 0\end{smallmatrix}\bigr),
logo \dim\mathcal K=1. Para K\in\mathcal K vale
T(K)=2K,
ou seja, K é autovetor de autovalor \lambda=2.

Passo 5

Os autovalores de T são 0 (com multiplicidade algébrica 3) e 2 (com multiplicidade algébrica 1).
Os respectivos autespaços têm dimensões iguais às multiplicidades algébricas 3 e 1, e 3+1=4=\dim M_{2\times2}(\mathbb{R}).

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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