Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Seja T \in \mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}) dada por T(a+b x)=b-a x). Existem uma base para \mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}) formada por auto-vetores reais de T.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon \mathcal{P}_{1}(\mathbb{R})\to \mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}), \qquad T(a + b\,x)=b - a\,x.
A questão pede para verificar se existe alguma base de \mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}) formada apenas por auto-vetores {\em reais} de T. Isso equivale a perguntar se T é diagonalizável sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Escolhemos a base canônica \{1, x\}. Vamos encontrar a matriz de T nessa base.
Para p_{1}(x)=1 temos
T(1)=T(1+0\,x)=0 - 1\,x = -x = 0\cdot 1 + (-1)\cdot x,
e para p_{2}(x)=x temos
T(x)=T(0+1\,x)=1 - 0\cdot x = 1 = 1\cdot 1 + 0\cdot x.
Logo, a matriz de T em \{1,x\} é
[T]_{\{1,x\}} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para saber se há auto-vetores reais, calculamos o polinômio característico de [T]:
\chi_{T}(\lambda) =\det\bigl([T]-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix} -\lambda & 1\\\\ -1 & -\lambda \end{pmatrix} =\lambda^{2}+1.

Passo 4

As raízes de \chi_{T}(\lambda)=0 são
\lambda^{2}+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\pm i,
que não são reais. Portanto não existem autovalores reais, logo não há nenhum auto-vetor real.

Passo 5

Sem autovalores reais, não se formam auto-vetores reais, muito menos uma base de auto-vetores em \mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}). Assim a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

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