Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Seja T \in \mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}) dada por T(a+b x)=b-a x). Existem uma base para \mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}) formada por auto-vetores reais de T.
A questão pede para verificar se existe alguma base de \mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}) formada apenas por auto-vetores {\em reais} de T. Isso equivale a perguntar se T é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Passo 2
Escolhemos a base canônica \{1, x\}. Vamos encontrar a matriz de T nessa base.
Para p_{1}(x)=1 temos
\lambda^{2}+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\pm i,
que não são reais. Portanto não existem autovalores reais, logo não há nenhum auto-vetor real.
Passo 5
Sem autovalores reais, não se formam auto-vetores reais, muito menos uma base de auto-vetores em \mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}). Assim a afirmação é falsa.