Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Seja
um operador linear em
. Então
é diagonalizável.
Seja
Passo 1
O enunciado define o operador linear
e pede para verificar se
é diagonalizável.
Conteúdo: diagonalização de operadores lineares finito-dimensionais.
O que vamos precisar: encontrar autovalores, autovetores (subespaços próprios) e conferir se a soma das dimensões dos autespaços é igual à dimensão total de , que é
.
O que vamos precisar: encontrar autovalores, autovetores (subespaços próprios) e conferir se a soma das dimensões dos autespaços é igual à dimensão total de
Passo 2
Observe que toda matriz
pode ser escrita como soma de uma parte simétrica
e de uma parte antissimétrica
ou seja,
com
e
. Então
Logo,
anula toda parte simétrica e duplica a parte antissimétrica.
Passo 3
O subespaço das matrizes simétricas
é formado por todas as matrizes de formato
,
logo . Para
vale
logo
ou seja,
é autovetor de autovalor
.
Passo 4
O subespaço das matrizes antissimétricas
é formado por todas as matrizes de formato
,
logo . Para
vale
logo
ou seja,
é autovetor de autovalor
.
Passo 5
Os autovalores de
são
(com multiplicidade algébrica
) e
(com multiplicidade algébrica
).
Os respectivos autespaços têm dimensões iguais às multiplicidades algébricas e
, e
.
Os respectivos autespaços têm dimensões iguais às multiplicidades algébricas
Resposta
A afirmação é verdadeira.