Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Toda matriz simétrica em M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se “toda matriz simétrica em M_{2\times2}(\mathbb{R}) é diagonalizável”.
O conteúdo é o Teorema Espectral para matrizes simétricas e o cálculo de autovalores e discriminante em dimensão 2.

Passo 2

Seja
A=\begin{pmatrix}a & b \\\ b & d\end{pmatrix}
uma matriz simétrica. Seu polinômio característico é
\chi(\lambda)=\det(A-\lambda I) =(a-\lambda)(d-\lambda)-b^{2} =\lambda^{2}-(a+d)\lambda+(ad-b^{2}).
O discriminante é
\Delta=(a+d)^{2}-4(ad-b^{2}) =(a-d)^{2}+4b^{2}\ge0,
logo os dois autovalores de A são reais.

Passo 3

Se \Delta>0, os autovalores são distintos e, em matrizes de tamanho 2, isso garante dois autovetores linearmente independentes. Portanto, A é diagonalizável.

Passo 4

Se \Delta=0, então (a-d)^{2}+4b^{2}=0 implica a=d e b=0, ou seja, A=aI. Mas uma matriz escalar já é diagonal em qualquer base. Logo também é diagonalizável.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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