Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Toda matriz simétrica em
é diagonalizável.
Toda matriz simétrica em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se “toda matriz simétrica em
é diagonalizável”.
O conteúdo é o Teorema Espectral para matrizes simétricas e o cálculo de autovalores e discriminante em dimensão 2.
O conteúdo é o Teorema Espectral para matrizes simétricas e o cálculo de autovalores e discriminante em dimensão 2.
Passo 2
Seja
uma matriz simétrica. Seu polinômio característico é
O discriminante é
logo os dois autovalores de
são reais.
Passo 3
Se
, os autovalores são distintos e, em matrizes de tamanho 2, isso garante dois autovetores linearmente independentes. Portanto,
é diagonalizável.
Passo 4
Se
, então
implica
e
, ou seja,
. Mas uma matriz escalar já é diagonal em qualquer base. Logo também é diagonalizável.
Resposta
A afirmação é verdadeira.