Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Se o polinômio minimal de A \in M_{7 \times 7}(\mathbb{R}) é dado por m_{A}(x)=x\left(x^{6}-1\right), então A é nilpotente.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A\in M_{7\times7}(\mathbb{R}) cujo polinômio mínimo é
m_{A}(x)=x\bigl(x^{6}-1\bigr)
e pede para verificar se isso implica que A é nilpotente. O conteúdo principal é a relação entre o polinômio mínimo, os autovalores de A e a condição de nilpotência.

Passo 2

Lembrando que A é nilpotente se e somente se todos os seus autovalores são zero. Em termos de polinômio mínimo, isso equivale a
m_{A}(x)=x^{k}
para algum k\ge1, pois aí a única raiz de m_{A} é 0.

Passo 3

O polinômio mínimo dado é
m_{A}(x)=x\,(x^{6}-1).
As raízes de m_{A} são as soluções de
x=0 \quad\text{ou}\quad x^{6}-1=0.
Da equação x^{6}-1=0 vem que x=1 (e também as outras raízes complexas da unidade), mas, em particular, 1 é autovalor de A.

Passo 4

Como 1 (e, em geral, outras raízes de x^{6}-1) aparece como autovalor de A, nem todos os autovalores são zero. Logo, A não pode ser nilpotente.

Resposta

Falso.

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