Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Se o polinômio minimal de
é dado por
, então
é nilpotente.
Se o polinômio minimal de
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz
cujo polinômio mínimo é
e pede para verificar se isso implica que
é nilpotente. O conteúdo principal é a relação entre o polinômio mínimo, os autovalores de
e a condição de nilpotência.
Passo 2
Lembrando que
é nilpotente se e somente se todos os seus autovalores são zero. Em termos de polinômio mínimo, isso equivale a
para algum
, pois aí a única raiz de
é
.
Passo 3
O polinômio mínimo dado é
As raízes de
são as soluções de
Da equação
vem que
(e também as outras raízes complexas da unidade), mas, em particular,
é autovalor de
.
Passo 4
Como
(e, em geral, outras raízes de
) aparece como autovalor de
, nem todos os autovalores são zero. Logo,
não pode ser nilpotente.
Resposta
Falso.