Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
Toda aplicação T: V W para a qual formos capazes de comprovar que T(0V)=0W é linear

Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício que fala sobre aplicações lineares entre dois espaços vetoriais e . O enunciado pergunta se toda aplicação que satisfaz é necessariamente linear. Vamos descobrir isso juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma aplicação linear. Uma função é linear se ela respeita duas propriedades principais:
  1. Adição: para todos .
  2. Escala: para todo escalar e todo .
Essas duas propriedades garantem que a função preserve a estrutura dos espaços vetoriais.

Passo 3

O enunciado nos diz que . Vamos ver o que isso significa. Sabemos que aplicar uma função linear a zero do espaço de partida deve dar o zero do espaço de chegada. Ou seja, se é linear, então necessariamente .

Passo 4

Mas será que o contrário é verdadeiro? Ou seja, se uma função satisfaz , isso garante que é linear? Vamos pensar: apenas saber que o zero vai para o zero não nos diz nada sobre a adição ou a escala. Pode ser que não respeite essas propriedades e, mesmo assim, mapeie o zero para o zero.

Passo 5

Para ilustrar, imagine uma função que sempre retorna o vetor zero, independente da entrada. Essa função satisfaz e também é linear. Agora, pense em uma função que mapeia todos os vetores para zero, mas não respeita a adição ou a escala em outros casos. Embora mapeie zero para zero, ela não seria linear porque não seguiria as propriedades necessárias.

Resposta

Falsa. Apenas garantir que não é suficiente para afirmar que é linear, já que as propriedades de adição e escala também devem ser satisfeitas.

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