Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
Toda aplicação
para a qual formos capazes de comprovar que
é linear
Toda aplicação
Passo 1
Então, galera! A gente tem um exercício que fala sobre aplicações lineares entre dois espaços vetoriais
e
. O enunciado pergunta se toda aplicação
que satisfaz
é necessariamente linear. Vamos descobrir isso juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma aplicação linear. Uma função
é linear se ela respeita duas propriedades principais:
- Adição:
para todos . - Escala:
para todo escalar e todo .
Essas duas propriedades garantem que a função
preserve a estrutura dos espaços vetoriais.
Passo 3
O enunciado nos diz que
. Vamos ver o que isso significa. Sabemos que aplicar uma função linear a zero do espaço de partida deve dar o zero do espaço de chegada. Ou seja, se
é linear, então necessariamente
.
Passo 4
Mas será que o contrário é verdadeiro? Ou seja, se uma função
satisfaz
, isso garante que
é linear? Vamos pensar: apenas saber que o zero vai para o zero não nos diz nada sobre a adição ou a escala. Pode ser que
não respeite essas propriedades e, mesmo assim, mapeie o zero para o zero.
Passo 5
Para ilustrar, imagine uma função que sempre retorna o vetor zero, independente da entrada. Essa função satisfaz
e também é linear. Agora, pense em uma função que mapeia todos os vetores para zero, mas não respeita a adição ou a escala em outros casos. Embora mapeie zero para zero, ela não seria linear porque não seguiria as propriedades necessárias.
Resposta
Falsa. Apenas garantir que
não é suficiente para afirmar que
é linear, já que as propriedades de adição e escala também devem ser satisfeitas.