Seja
o conjunto das matrizes simétricas de ordem
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a dimensão do conjunto
das matrizes simétricas de ordem
é igual a
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e suas dimensões. Para resolver, vamos analisar quantos elementos são independentes em uma matriz simétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
de ordem
é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja,
. Isso significa que o elemento na posição
é igual ao elemento na posição
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos contar quantos elementos são realmente independentes em uma matriz simétrica. Observe que na diagonal principal da matriz, onde
, os elementos são únicos e não têm correspondentes. Já fora da diagonal, cada elemento
é igual a
, então podemos considerar apenas uma dessas posições para contar os elementos independentes.
Passo 4
Vamos dividir a contagem em duas partes:
- Elementos da diagonal principal: Há
elementos na diagonal de uma matriz . - Elementos acima da diagonal (ou abaixo, já que são iguais): São os elementos onde
. O número de tais elementos é dado por: Isso porque para cada linha de 1 a , há elementos acima da diagonal.
Passo 5
Para encontrar a dimensão do espaço
, somamos os elementos independentes da diagonal e acima da diagonal:
Resposta
Então, a dimensão de
é
.