Seja S o conjunto das matrizes simétricas de ordem n. Mostre que
dim(S)=n(n+1)2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a dimensão do conjunto das matrizes simétricas de ordem é igual a . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e suas dimensões. Para resolver, vamos analisar quantos elementos são independentes em uma matriz simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz de ordem é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que o elemento na posição é igual ao elemento na posição , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos contar quantos elementos são realmente independentes em uma matriz simétrica. Observe que na diagonal principal da matriz, onde , os elementos são únicos e não têm correspondentes. Já fora da diagonal, cada elemento é igual a , então podemos considerar apenas uma dessas posições para contar os elementos independentes.

Passo 4

Vamos dividir a contagem em duas partes:
  1. Elementos da diagonal principal: n(n - 1)2 elementos na diagonal de uma matriz .
  2. Elementos acima da diagonal (ou abaixo, já que são iguais): São os elementos onde . O número de tais elementos é dado por: Isso porque para cada linha de 1 a , há elementos acima da diagonal.

Passo 5

Para encontrar a dimensão do espaço dim(S) = n + n(n - 1)2 = 2n + n(n - 1)2 = n(n + 1)2 , somamos os elementos independentes da diagonal e acima da diagonal:

Resposta

Então, a dimensão de é .

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