Verifique, em cada caso, se cada um dos subconjuntos
é um subespaço vetorial de
.
,
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com a adição e multiplicação escalar usuais, e define
para uma matriz fixa
. Para mostrar que
é subespaço vetorial de
, precisamos verificar:
-
não é vazio (contém o vetor zero). - Se
então . - Se
e então .
Passo 2
Mostramos que a matriz zero
comuta com
. De fato,
e
logo
, isto é,
.
Passo 3
Sejam
, ou seja,
e
. Então
Isso mostra que
.
Passo 4
Seja
e
. Como
, temos
logo
.
Resposta
O conjunto
satisfaz as três condições de subespaço vetorial em
. Portanto,
é um subespaço vetorial de
.