Verifique, em cada caso, se cada um dos subconjuntos W é um subespaço vetorial de V.
V=M(n \times n), W=\{B \in M(n \times n) ; A B=B A\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial
V = M(n\times n)
com a adição e multiplicação escalar usuais, e define
W = \{\,B\in M(n\times n)\mid A\,B = B\,A\}
para uma matriz fixa A. Para mostrar que W é subespaço vetorial de V, precisamos verificar:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. Se B_1,B_2\in W então B_1 + B_2\in W.
  3. Se B\in W e \lambda\in\mathbb{K} então \lambda B\in W.

Passo 2

Mostramos que a matriz zero 0 comuta com A. De fato,
A\cdot 0 = 0
e
0 \cdot A = 0,
logo A\cdot 0 = 0 = 0\cdot A, isto é, 0\in W.

Passo 3

Sejam B_1,B_2\in W, ou seja, A\,B_1 = B_1\,A e A\,B_2 = B_2\,A. Então
A\,(B_1 + B_2) = A\,B_1 + A\,B_2 = B_1\,A + B_2\,A = (B_1 + B_2)\,A.
Isso mostra que B_1 + B_2\in W.

Passo 4

Seja B\in W e \lambda\in\mathbb{K}. Como A\,B = B\,A, temos
A\,(\lambda B) = \lambda\,(A\,B) = \lambda\,(B\,A) = (\lambda B)\,A,
logo \lambda B\in W.

Resposta

O conjunto W satisfaz as três condições de subespaço vetorial em V. Portanto, W é um subespaço vetorial de M(n\times n).

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