Verifique, em cada caso, se cada um dos subconjuntos W é um subespaço vetorial de V.
V=\mathbb{R}^{3}, W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x, y, z\right. são racionais })

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x,y,z\text{ são racionais}\}ã
é um subespaço vetorial de V = \mathbb{R}^3. O conteúdo envolvido é a definição de subespaço, que exige verificar:
  1. W\neq\emptyset,
  2. fechamento em soma,
  3. fechamento em multiplicação por escalar (aqui escalar em \mathbb{R}).

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo (0,0,0) tem coordenadas racionais, logo (0,0,0)\in W. Portanto, W\neq\emptyset.

Passo 3

Tomemos \mathbf u=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf v=(x_2,y_2,z_2) em W. Como coordenadas racionais são fechadas sob adição,
x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2
são racionais. Logo \mathbf u+\mathbf v\in W, e W é fechado sob soma.

Passo 4

Para a multiplicação por escalar, escolhemos um escalar \alpha\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} (por exemplo \alpha=\sqrt{2}) e o vetor \mathbf w=(1,0,0)\in W. Então
\alpha\mathbf w = (\alpha,0,0)
tem primeira coordenada irracional, logo \alpha\mathbf w\notin W. Isso mostra que W não é fechado sob multiplicação por escalar em \mathbb{R}.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

Exercícios relacionados