Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
W=\left\{p(x)=a+b x+c x^{2} \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) ; a-2 b=c\right\}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço \displaystyle W=\{\,p(x)=a+bx+cx^2\in\mathcal P_2(\mathbb R)\mid a-2b=c\}.
Estamos em Álgebra Linear, e queremos um conjunto de geradores para W. Como há uma restrição linear entre a,b,c, vamos expressar um polinômio genérico de W em função de dois parâmetros livres e extrair vetores geradores.

Passo 2

Da condição
a-2b=c
seguimos que
c = a - 2b.
Substituindo em p(x)=a+bx+cx^2, obtemos
p(x)=a + bx + (a-2b)x^2 = a\,(1 + x^2) \;+\; b\,(x - 2x^2).

Passo 3

A igualdade anterior mostra que todo p\in W é combinação linear de
p_1(x)=1+x^2 \quad\text{e}\quad p_2(x)=x-2x^2.
Logo
W = \operatorname{span}\{\,p_1,p_2\}.

Resposta

Um conjunto de geradores é
\{\,1+x^2,\;x-2x^2\}.

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