Verifique, em cada um dos casos, se conjunto S é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Justifique sua resposta (faça cálculos somente quando for realmente necessário!)
S=\left\{\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}\pi & \sqrt{2} \\\ \sqrt{3} & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}1 & 332 \\\\ 41 & 90\end{array}\right]\right\} em M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = \Bigl\{\,\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}\pi & \sqrt{2} \\\ \sqrt{3} & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1 & 332 \\\\ 41 & 90\end{pmatrix}\Bigr\}
em M_{2}(\mathbb{R}) e pede para verificar se S é linearmente independente ou dependente.
Para isso usamos a definição: S é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial das matrizes de S que dê a matriz zero.

Passo 2

Note que a primeira matriz de S é a matriz nula \displaystyle\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Basta então escolher coeficientes \lambda_1=1, \lambda_2=0, \lambda_3=0 para obter
\lambda_1\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix} +\lambda_2\begin{pmatrix}\pi & \sqrt{2} \\\ \sqrt{3} & 0\end{pmatrix} +\lambda_3\begin{pmatrix}1 & 332 \\\\ 41 & 90\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
com pelo menos um \lambda_i\neq 0. Isso mostra diretamente que S é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente.

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