Verifique, em cada um dos casos, se conjunto S é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Justifique sua resposta (faça cálculos somente quando for realmente necessário!)
S=\left\{\operatorname{cosh} x, \mathrm{e}^{x}, \mathrm{e}^{-x}\right\} em \mathscr{F}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos se o conjunto
S = \{\operatorname{cosh} x,\;e^x,\;e^{-x}\}
no espaço vetorial das funções reais é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso vamos usar a definição: S é L.D. se existem escalares não todos nulos tais que uma combinação linear das funções de S seja a função zero.

Passo 2

Usamos a identidade hiperbólica
\operatorname{cosh} x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2 obtemos a relação não trivial
2\operatorname{cosh} x \;-\; e^x \;-\; e^{-x} \;=\; 0
para todo x. Isso mostra que há escalares 2,-1,-1, não todos nulos, que aniquilam a combinação linear, logo S é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente.

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