Verifique se cada conjunto $S$ dado a seguir é L.I. e se é uma base para o respectivo espaço $V$ . Justifique!
$S=\left\{\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)\right\}, \quad V=M_{2 \times 3}(\mathbb{R})$ .

O enunciado dá o conjunto

S=\Bigl\{A_{1},A_{2},A_{3}\Bigr\}\subset V=M_{2\times3}(\mathbb{R}),

onde

A_{1}=\begin{pmatrix}1&0&1\\\ 0&0&1\end{pmatrix},\quad A_{2}=\begin{pmatrix}0&1&1\\\ 0&0&0\end{pmatrix},\quad A_{3}=\begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&1&2\end{pmatrix}.

Pede-se verificar se

S

é linearmente independente (L.I.) e se é base de

V

. Para isso vamos usar a definição de L.I. (a única combinação que dá zero é a trivial) e a definição de base (L.I. e gerador de

V

). Além disso, lembramos que

\dim(V)=2\cdot3=6

Para testar independência, consideramos a combinação linear nula

\alpha A_{1}+\beta A_{2}+\gamma A_{3}=0_{2\times3}.

Igualando entrada a entrada ao zero, obtemos as seguintes equações:
da posição

(1,1)

segue

\alpha=0

;
da posição

(1,2)

segue

\beta=0

;
da posição

(1,3)

segue

\alpha+\beta=0

;
da posição

(2,2)

segue

\gamma=0

;
da posição

(2,3)

segue

\alpha+2\gamma=0

.
Não há contradição e todas implicam

\alpha=\beta=\gamma=0

, logo

S

é L.I.

Para ser base,

S

precisaria gerar todo

V

. Mas

\dim(V)=6

S

tem apenas 3 vetores, então não gera o espaço inteiro. Portanto

S

não é base de

V

S

é linearmente independente, mas não é base de

M_{2\times3}(\mathbb{R})

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