Verifique se cada conjunto $S$ dado a seguir é L.I. e se é uma base para o respectivo espaço $V$ . Justifique!
$S=\left\{t^{2}-1, t+2,5\right\}, \quad V=P_{2}(\mathbb{R})$ .

O enunciado pede para verificar se o conjunto

S = \{\,t^{2}-1,\;t+2,\;5\}

é linearmente independente em

V=P_{2}(\mathbb{R})

e se, nesse caso, é uma base de

V

. Vamos usar definição de combinação linear nula e depois argumento de dimensão.

Considere a combinação linear nula

a\,(t^{2}-1) \;+\; b\,(t+2)\;+\; c\cdot 5 \;=\; 0\quad\text{para todo }t,

onde

a,b,c\in\mathbb{R}

. Nosso objetivo é ver se

a=b=c=0

é a única solução.

Expandindo a soma, obtemos o polinômio

a\,t^{2} \;+\; b\,t \;+\;( -a + 2b + 5c ) \;=\; 0.

Como este polinômio é o polinômio zero, os coeficientes devem ser iguais a zero:

\begin{cases} a = 0,\\\ b = 0,\\\\ -\,a + 2b + 5c = 0. \end{cases}

Substituindo

a=0

b=0

na terceira equação vem

5c=0

, logo

c=0

. Assim, a única solução é

a=b=c=0

, provando que

S

é linearmente independente.

Sabemos que

\dim P_{2}(\mathbb{R})=3

. Como

S

tem exatamente 3 vetores e já mostramos que são linearmente independentes, segue que

S

também gera

V

. Portanto,

S

é uma base de

P_{2}(\mathbb{R})

O conjunto

S

é linearmente independente e, como tem três vetores em um espaço de dimensão 3, é também uma base de

P_{2}(\mathbb{R})

Verifique se cada conjunto S dado a seguir é L.I. e se é uma base para o respectivo espaço V. Justifique! S=\left\{t^{2}-1, t+2,5\right\}, \quad V=P_{2}(\mathbb{R}).