Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto S é um subespaço do espaço vetorial V.
(h) V=M3 e S=A in M3: A^T=-A (S é o conjunto das matrizes anti-simétricas)

Passo 1

Beleza, temos que verificar se o conjunto das matrizes anti-simétricas em é um subespaço do espaço vetorial . Vamos precisar entender o que é um subespaço e quais propriedades precisa cumprir para ser considerado um.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. não é vazio.
  2. Se e estão em , então também está em (fechamento sob adição).
  3. Se está em e é um escalar, então também está em (fechamento sob multiplicação por escalar).
Vamos verificar essas propriedades para o conjunto .

Passo 3

Primeiro, não é vazio porque a matriz zero satisfaz . Ou seja, a matriz zero está em .

Passo 4

Agora, vamos verificar o fechamento sob adição. Se (A + B)^T = A^T + B^T = -A + (-B) = -(A + B) e são anti-simétricas, então:
Assim, também é anti-simétrica, mantendo-se em .

Passo 5

Finalmente, vamos ver o fechamento sob multiplicação por escalar. Se (cA)^T = cA^T = c(-A) = -cA é anti-simétrica e é um escalar, então:
Portanto, também é anti-simétrica e está em .

Resposta

Sim, o conjunto das matrizes anti-simétricas em é um subespaço do espaço vetorial .

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