Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
.
(h)
e
(S é o conjunto das matrizes anti-simétricas)
(h)
Passo 1
Beleza, temos que verificar se o conjunto
das matrizes anti-simétricas
em
é um subespaço do espaço vetorial
. Vamos precisar entender o que é um subespaço e quais propriedades
precisa cumprir para ser considerado um.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
-
não é vazio. - Se
e estão em , então também está em (fechamento sob adição). - Se
está em e é um escalar, então também está em (fechamento sob multiplicação por escalar).
Vamos verificar essas propriedades para o conjunto
.
Passo 3
Primeiro,
não é vazio porque a matriz zero
satisfaz
. Ou seja, a matriz zero está em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar o fechamento sob adição. Se
e
são anti-simétricas, então:
Assim,
também é anti-simétrica, mantendo-se em
.
Passo 5
Finalmente, vamos ver o fechamento sob multiplicação por escalar. Se
é anti-simétrica e
é um escalar, então:
Portanto,
também é anti-simétrica e está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
das matrizes anti-simétricas em
é um subespaço do espaço vetorial
.