Verifique se a matriz é invertível e, em caso afirmativo, calcule sua inversa.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se uma matriz é invertível e, se for, calcular sua inversa. Temos três matrizes: A, B e C. Para resolver isso, precisamos saber como calcular o determinante de uma matriz e a fórmula para a inversa de matrizes 2x2 e 3x3.
Passo 2
Matriz A:
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A. Para uma matriz 2x2, o determinante é dado por:
Onde:
-
det(A) = (1)(-1) - (-1)(1) = -1 + 1 = 0 -
-
-
Então:
Como o determinante é zero, a matriz A não é invertível.
Passo 3
Matriz B:
Vamos calcular o determinante da matriz B:
Onde:
-
det(B) = (2)(1) - (0)(1) = 2 - 0 = 2 -
B^-1 = 1det(B) d & -b -c & a -
B^-1 = 12 1 & 0 -1 & 2 = 0.5 & 0 -0.5 & 1 -
Então:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz B é invertível.
Para encontrar a inversa de uma matriz 2x2, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 4
Matriz C:
Para matrizes 3x3, calculamos o determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus:
Calculando cada termo:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz C é invertível.
Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, precisamos calcular a matriz dos cofatores, transpor essa matriz (matriz adjunta) e multiplicar pelo inverso do determinante. Devido à complexidade, apresentamos apenas a inversa final:
Resposta
- A matriz A não é invertível.
- A matriz B é invertível e sua inversa é:
- A matriz C é invertível e sua inversa é: