Verifique se cada uma das seguintes relações são de equivalência.
.
Passo 1
O enunciado define a relação
e pede para verificar se é relação de equivalência. Lembrando que uma relação em um conjunto é de equivalência se e somente se for reflexiva, simétrica e transitiva.
e pede para verificar se
Passo 2
Verificando a reflexividade: para todo
temos
logo
. Portanto,
é reflexiva.
Passo 3
Verificando a simetria: suponha
. Então
Daí
, isto é,
. Assim,
é simétrica.
Passo 4
Verificando a transitividade: suponha
e
. Então
Logo
, o que implica
. Assim,
é transitiva.
Resposta
A relação
é reflexiva, simétrica e transitiva, logo é uma relação de equivalência em
.