Verifique se cada uma das seguintes relações são de equivalência.
R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}: x^{2}=y^{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado define a relação \displaystyle R=\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}:x^{2}=y^{2}\}
e pede para verificar se R é relação de equivalência. Lembrando que uma relação em um conjunto é de equivalência se e somente se for reflexiva, simétrica e transitiva.

Passo 2

Verificando a reflexividade: para todo x\in\mathbb{R} temos
x^{2}=x^{2},
logo (x,x)\in R. Portanto, R é reflexiva.

Passo 3

Verificando a simetria: suponha (x,y)\in R. Então
x^{2}=y^{2}.
Daí y^{2}=x^{2}, isto é, (y,x)\in R. Assim, R é simétrica.

Passo 4

Verificando a transitividade: suponha (x,y)\in R e (y,z)\in R. Então
x^{2}=y^{2} \quad\text{e}\quad y^{2}=z^{2}.
Logo x^{2}=z^{2}, o que implica (x,z)\in R. Assim, R é transitiva.

Resposta

A relação R é reflexiva, simétrica e transitiva, logo é uma relação de equivalência em \mathbb{R}.

Exercícios relacionados