Verifique quais dos campos vetoriais abaixo são conversativos e calcule as integrais de linhas dos campos vetoriais com relação ao caminho dado por
\mathbf{r}(t)=\cos (t) \mathbf{i}+\operatorname{sen}(t) \mathbf{j}, \quad t \in[0,2 \pi]
(a) \mathbf{F}=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}
(b) \mathbf{G}=\frac{-y}{x{2}+y{2}} \mathbf{i}+\frac{x}{x{2}+y{2}} \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos quais campos vetoriais são conservativos e, em seguida, calcularmos
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \quad\text{e}\quad \oint_{C}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r}
onde C é o círculo unitário dado por
\mathbf{r}(t) = \cos(t)\,\mathbf{i} + \sin(t)\,\mathbf{j},\quad t\in[0,2\pi].
Para testar se um campo \mathbf{H}=(P,Q) é conservativo em uma região do plano basta verificar se
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}
é zero nessa região e se a região é simplesmente conectada.

Passo 2

Analisando \mathbf{F}=-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}, temos P(x,y)=-y e Q(x,y)=x. Calculamos o rotacional (componente k em 2D):
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}(x) = 1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}(-y) = -1,
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\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2 \neq 0.
Portanto \mathbf{F} não é conservativo.

Passo 3

Para calcular
\displaystyle\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
podemos usar o Teorema de Green:
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA = \iint_{D}2\,dA,
onde D é o disco unitário de área \pi. Então
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 2 \times \pi = 2\pi.

Passo 4

Analisando \mathbf{G}=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\mathbf{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\mathbf{j}, temos
P(x,y) = -\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \quad Q(x,y)= \frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Fazendo o mesmo cálculo de rotacional em \R^2\setminus\{0\}:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(x^{2}+y^{2}) - x(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial P}{\partial y} = -\,\frac{(x^{2}+y^{2}) - y(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = -\,\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
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\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0.
O rotacional é zero, mas o domínio de \mathbf{G} é \R^2\setminus\{(0,0)\}, que não é simplesmente conectado. Como o caminho C envolve a origem, \mathbf{G} não é conservativo nesse domínio.

Passo 5

Calculamos
\displaystyle\oint_{C}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r}
por parametrização. Em C temos
\,x=\cos t,\;y=\sin t,\;\dot x=-\sin t,\;\dot y=\cos t.
Também x^{2}+y^{2}=1, então
\mathbf{G}(\mathbf{r}(t)) = -\sin t\,\mathbf{i} + \cos t\,\mathbf{j}, \quad \mathbf{r}'(t) = -\sin t\,\mathbf{i} + \cos t\,\mathbf{j}.
O produto escalar é
\mathbf{G}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) = (-\sin t)(-\sin t) + (\cos t)(\cos t) = \sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Assim
\oint_{C}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{2\pi} 1\,dt = 2\pi.

Resposta

\mathbf{F} não é conservativo e
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 2\pi.
\mathbf{G} também não é conservativo no domínio que contém C e
\oint_{C}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r} = 2\pi.

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