Verifique quais dos campos vetoriais abaixo são conversativos e calcule as integrais de linhas dos campos vetoriais com relação ao caminho dado por
(a) \mathbf{F}=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}
(b) \mathbf{G}=\frac{-y}{x{2}+y{2}} \mathbf{i}+\frac{x}{x{2}+y{2}} \mathbf{j}
(b) \mathbf{G}=\frac{-y}{x{2}+y{2}} \mathbf{i}+\frac{x}{x{2}+y{2}} \mathbf{j}
Passo 1
O enunciado pede para verificarmos quais campos vetoriais são conservativos e, em seguida, calcularmos
onde
é o círculo unitário dado por
Para testar se um campo
é conservativo em uma região do plano basta verificar se
é zero nessa região e se a região é simplesmente conectada.
Passo 2
Analisando
, temos
e
. Calculamos o rotacional (componente
em 2D):
logo
Portanto
não é conservativo.
Passo 3
Para calcular
podemos usar o Teorema de Green:
podemos usar o Teorema de Green:
onde
é o disco unitário de área
. Então
Passo 4
Analisando
, temos
Fazendo o mesmo cálculo de rotacional em
:
logo
O rotacional é zero, mas o domínio de
é
, que não é simplesmente conectado. Como o caminho
envolve a origem,
não é conservativo nesse domínio.
Passo 5
Calculamos
por parametrização. Em temos
Também , então
por parametrização. Em
Também
O produto escalar é
Assim