Se f(x, y, z)=x y+y z^{2}, A=(-1,1,-1) e B=(2,4,8) então:
(a) Calcule \nabla f e defina \mathbf{F}=\nabla f
(b) \mathbf{F} é um campo vetorial conservativo?
(c) Mostre que \mathbf{r}:[-1,2] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, dada por \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t^{2} \mathbf{j}+t^{3} \mathbf{k} descreve uma curva que une os pontos A e B.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x y + y z^{2},
os pontos A=(-1,1,-1) e B=(2,4,8), e pede:
(a) calcular \nabla f e definir \mathbf{F}=\nabla f;
(b) verificar se \mathbf{F} é conservativo;
(c) mostrar que a curva
\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}+t^{2}\,\mathbf{j}+t^{3}\,\mathbf{k},\quad t\in[-1,2],
vai de A a B.
Conteúdo necessário: derivadas parciais para o gradiente, definição de campo conservativo (curl nulo em domínio simplesmente conexo) e avaliação de parametrização em extremos.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=y,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x+z^{2},\quad \frac{\partial f}{\partial z}=2yz.
Logo
\nabla f(x,y,z)=\bigl(y,\;x+z^{2},\;2yz\bigr).
Definindo \mathbf{F}=\nabla f, temos
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(y,\;x+z^{2},\;2yz\bigr).

Passo 3

Um campo \mathbf{F} é conservativo se existe f tal que \mathbf{F}=\nabla f, ou equivalentemente se \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} num domínio simplesmente conexo. Aqui já vimos \mathbf{F}=\nabla f, portanto é automaticamente conservativo. Para confirmar, calculemos o rotacional:
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ y&x+z^2&2yz \end{vmatrix} =(0,0,0).
Como \mathbb{R}^3 é simplesmente conexo, concluímos que \mathbf{F} é um campo conservativo.

Passo 4

Para mostrar que \mathbf{r}(t) liga A a B, avaliamos em t=-1 e t=2:
\mathbf{r}(-1)=(-1,(-1)^{2},(-1)^{3})=(-1,1,-1)=A,
\mathbf{r}(2)=(2,2^{2},2^{3})=(2,4,8)=B.
Portanto, à medida que t varia de -1 a 2, \mathbf{r}(t) vai de A até B.

Resposta

(a) \nabla f(x,y,z)=(y,\;x+z^{2},\;2yz) e \mathbf{F}=\nabla f.
(b) Sim, \mathbf{F} é conservativo (é gradiente de f e \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em \mathbb{R}^{3}).
(c) \mathbf{r}(-1)=A e \mathbf{r}(2)=B, logo a curva une A a B.

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