Verifique se
é um subcorpo de (
, .) em cada um dos casos.
Passo 1
O enunciado pede que se verifique se o subconjunto
é um subcorpo do corpo dos reais
. O enunciado fornece a descrição
Observações sobre o que foi dado e o que se pergunta:
- O conjunto
está descrito por elementos da forma com e (aparentemente) pertencentes a . - A pergunta é:
é subcorpo de ? Ou seja, é um subconjunto de que, com as operações usuais, é um corpo por si só? - Nota importante: a escrita do enunciado tem uma pequena ambiguidade tipográfica: provavelmente quis dizer que
(ou, em outro contexto comum, ). Vou explicitar as duas leituras possíveis porque mudam ligeiramente a resposta prática. Não vou pedir confirmação — vou tratar as duas interpretações.
Passo 2
Critérios práticos para testar se um subconjunto
de um corpo
é subcorpo:
- Basta verificar que
é não vazio e que é fechado sob subtração e divisão por elementos não nulos. Em forma curta: - Por que isso funciona? Porque a partir de fechamento por subtração obtém-se fechamento por adição e existência de inverso aditivo; e a condição de divisão por não nulos garante fechamento por multiplicação (usando
) e existência de inverso multiplicativo para elementos não nulos. - Em termos práticos, para conjuntos do tipo
costuma-se: - Verificar que
. - Mostrar que soma/subtração de dois elementos do tipo fica no mesmo formato.
- Mostrar que produto de dois elementos do tipo fica no mesmo formato.
- Para inverso multiplicativo de
com , usar a conjugada para obter uma expressão do tipo e verificar que os coeficientes ficam no corpo de referência (por exemplo ou ).
- Verificar que
Passo 3
Interpretação A: supondo que a intenção do enunciado seja realmente
.
- Qual é o conjunto
neste caso? É - Mas observe que para qualquer real
temos . Como e , segue que . Logo todo número real pertence a . - Portanto
- Conclusão imediata: sendo
, é (trivialmente) um subcorpo de — na verdade é o próprio corpo . Todas as propriedades de corpo (fechamento, inversos, identidade) já valem em .
Passo 4
Interpretação B (caso comum em exercícios): supondo que a intenção fosse
, ou seja
apresento o raciocínio padrão (útil caso a ambiguidade existisse):
- Não vazio e identidades:
e . - Fechamento por soma e subtração: se
e com , então cujos coeficientes são ainda números racionais, logo . - Fechamento por multiplicação: usando distributividade,
e todos os coeficientes são racionais, logo . - Inverso multiplicativo: para
com , calcule a conjugada: Aqui . Se então , o que forçaria a ser racional salvo ; portanto, para coeficientes racionais a única forma de é , que corresponde a (caso excluído). Assim para tem-se e tem coeficientes racionais, isto é . - Conclusão: sob a interpretação
, é um subcorpo de ; é o corpo .
Passo 5
Resumo didático e incentivo rápido: se o problema quis dizer
então não precisa se preocupar — o conjunto é todo
e portanto é subcorpo. Se na verdade o exercício era o clássico com coeficientes racionais (
), então também é subcorpo e vale seguir os passos de soma, produto e inverso usando a conjugada para mostrar fechamento e existência de inversos.
Resposta
Considerando
: Sim.
, logo é subcorpo de
.
Considerando (interpretação comum): Sim.
é um subcorpo de
.
Considerando