Verifique se (5,+, \cdot) é um subcorpo de ( R_{1}+, .) em cada um dos casos.
S=\{a+b \cdot \sqrt{3} / a, b \in \mathbb{R}\}

Passo 1

O enunciado pede que se verifique se o subconjunto S é um subcorpo do corpo dos reais (\mathbb{R},+,\cdot). O enunciado fornece a descrição
S=\{a+b\cdot\sqrt{3}\\ /\\ a, b \in \mathbb{R}\}.
Observações sobre o que foi dado e o que se pergunta:
  • O conjunto S está descrito por elementos da forma \,a+b\sqrt{3}\, com a e b (aparentemente) pertencentes a \mathbb{R}.
  • A pergunta é: S é subcorpo de (\mathbb{R},+,\cdot)? Ou seja, S é um subconjunto de \mathbb{R} que, com as operações usuais, é um corpo por si só?
  • Nota importante: a escrita do enunciado tem uma pequena ambiguidade tipográfica: provavelmente quis dizer que a,b\in\mathbb{R} (ou, em outro contexto comum, a,b\in\mathbb{Q}). Vou explicitar as duas leituras possíveis porque mudam ligeiramente a resposta prática. Não vou pedir confirmação — vou tratar as duas interpretações.

Passo 2

Critérios práticos para testar se um subconjunto F de um corpo K é subcorpo:
  • Basta verificar que F é não vazio e que é fechado sob subtração e divisão por elementos não nulos. Em forma curta: F\neq\varnothing,\qquad \text{se }x,y\in F\text{ então }x-y\in F,\qquad\text{se }x,y\in F,\\ y\neq0\text{ então }\frac{x}{y}\in F.ãã
  • Por que isso funciona? Porque a partir de fechamento por subtração obtém-se fechamento por adição e existência de inverso aditivo; e a condição de divisão por não nulos garante fechamento por multiplicação (usando \frac{x}{y}=x\cdot y^{-1}) e existência de inverso multiplicativo para elementos não nulos.
  • Em termos práticos, para conjuntos do tipo \{a+b\sqrt{d}\} costuma-se:
    1. Verificar que 0,1\in S.
    2. Mostrar que soma/subtração de dois elementos do tipo fica no mesmo formato.
    3. Mostrar que produto de dois elementos do tipo fica no mesmo formato.
    4. Para inverso multiplicativo de x=a+b\sqrt{3} com x\neq0, usar a conjugada a-b\sqrt{3} para obter uma expressão do tipo \dfrac{a-b\sqrt{3}}{a^{2}-3b^{2}} e verificar que os coeficientes ficam no corpo de referência (por exemplo \mathbb{Q} ou \mathbb{R}).

Passo 3

Interpretação A: supondo que a intenção do enunciado seja realmente a,b\in\mathbb{R}.
  • Qual é o conjunto S neste caso? É S=\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in\mathbb{R}\}.
  • Mas observe que para qualquer real r temos r = r + 0\cdot\sqrt{3}. Como r\in\mathbb{R} e 0\in\mathbb{R}, segue que r\in S. Logo todo número real pertence a S.
  • Portanto S=\mathbb{R}.
  • Conclusão imediata: sendo S=\mathbb{R}, S é (trivialmente) um subcorpo de (\mathbb{R},+,\cdot) — na verdade é o próprio corpo \mathbb{R}. Todas as propriedades de corpo (fechamento, inversos, identidade) já valem em \mathbb{R}.

Passo 4

Interpretação B (caso comum em exercícios): supondo que a intenção fosse a,b\in\mathbb{Q}, ou seja
S=\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in\mathbb{Q}\},
apresento o raciocínio padrão (útil caso a ambiguidade existisse):
  • Não vazio e identidades: 0=0+0\sqrt{3}\in S e 1=1+0\sqrt{3}\in S.
  • Fechamento por soma e subtração: se x=a_1+b_1\sqrt{3} e y=a_2+b_2\sqrt{3} com a_i,b_i\in\mathbb{Q}, então x\pm y=(a_1\pm a_2)+(b_1\pm b_2)\sqrt{3},cujos coeficientes são ainda números racionais, logo x\pm y\in S.
  • Fechamento por multiplicação: usando distributividade, xy=(a_1+b_1\sqrt{3})(a_2+b_2\sqrt{3})=a_1a_2+3b_1b_2+(a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{3},e todos os coeficientes são racionais, logo xy\in S.
  • Inverso multiplicativo: para x=a+b\sqrt{3}\neq0 com a,b\in\mathbb{Q}, calcule a conjugada: x^{-1}=\frac{1}{a+b\sqrt{3}}=\frac{a-b\sqrt{3}}{a^2-3b^2}.Aqui a^2-3b^2\in\mathbb{Q}. Se a^2-3b^2=0 então a=\pm\sqrt{3}\,b, o que forçaria \sqrt{3} a ser racional salvo b=0; portanto, para coeficientes racionais a única forma de a^2-3b^2=0 é a=b=0, que corresponde a x=0 (caso excluído). Assim para x\neq0 tem-se a^2-3b^2\neq0 e x^{-1} tem coeficientes racionais, isto é x^{-1}\in S.
  • Conclusão: sob a interpretação a,b\in\mathbb{Q}, S é um subcorpo de \mathbb{R}; é o corpo \mathbb{Q}(\sqrt{3}).

Passo 5

Resumo didático e incentivo rápido: se o problema quis dizer a,b\in\mathbb{R} então não precisa se preocupar — o conjunto é todo \mathbb{R} e portanto é subcorpo. Se na verdade o exercício era o clássico com coeficientes racionais ( a,b\in\mathbb{Q}), então também é subcorpo e vale seguir os passos de soma, produto e inverso usando a conjugada para mostrar fechamento e existência de inversos.

Resposta

Considerando a,b\in\mathbb{R}: Sim. S=\mathbb{R}, logo é subcorpo de (\mathbb{R},+,\cdot).
Considerando a,b\in\mathbb{Q} (interpretação comum): Sim. S=\mathbb{Q}(\sqrt{3}) é um subcorpo de (\mathbb{R},+,\cdot).

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