Verifique quais dos conjunto abaixo são subgrupos de G L(2) :
F=\left\{\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{2 k \pi}{n} & -\sin \frac{2 k \pi}{n} \\ \sin \frac{2 k \pi}{n} & \cos \frac{2 k \pi}{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} ; k \in\{0,1,2,3, \ldots, n-1\}\right\}\

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
F=\left\{\begin{pmatrix}\cos\frac{2k\pi}{n} & -\sin\frac{2k\pi}{n}\\[4pt] \sin\frac{2k\pi}{n} & \cos\frac{2k\pi}{n}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times2}\;;\;k\in\{0,1,2,\dots,n-1\}\right\}.
A pergunta é: verificar se F é (ou não é) um subgrupo de GL(2).
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
  • Cada elemento de F é uma matriz 2\times2 parametrizada por um inteiro k entre 0 e n-1.
  • A matriz correspondente a k é a matriz de rotação de ângulo \dfrac{2k\pi}{n}.]

Passo 2

Lembrete (critérios de subgrupo) — aqui vou explicar bem devagarinho:
  • Seja G=GL(2). Um subconjunto H\subseteq G é subgrupo se satisfaz três condições equivalentes (escolho a versão prática):
    1. H não é vazio (ou contém a identidade de G);
    2. H é fechado por produto: se A,B\in H então AB\in H;
    3. H é fechado por inverso: se A\in H então A^{-1}\in H.
  • Observação útil: associatividade já vale porque matrizes associam automaticamente (herdado de GL(2)), então não precisamos provar associatividade.
    Vamos verificar esses pontos para F.

Passo 3

Verificar que os elementos de F realmente estão em GL(2) (ou seja, são invertíveis).
  • Tome a matriz genérica de F:
R_k=\begin{pmatrix}\cos\frac{2k\pi}{n} & -\sin\frac{2k\pi}{n}\\[4pt] \sin\frac{2k\pi}{n} & \cos\frac{2k\pi}{n}\end{pmatrix}.
  • Calcule o determinante de R_k:
\det(R_k) = \cos^2\frac{2k\pi}{n} + \sin^2\frac{2k\pi}{n} = 1,
usando a identidade trigonométrica \cos^2\theta+\sin^2\theta=1.
  • Como \det(R_k)=1\neq 0, cada R_k é invertível, logo R_k\in GL(2). Portanto F\subseteq GL(2).]

Passo 4

Verificar se a identidade de GL(2) está em F.
  • A identidade é I=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
  • Para k=0 temos
R_0=\begin{pmatrix}\cos 0 & -\sin 0\\[4pt]\sin 0 & \cos 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}=I.
  • Logo I\in F e F não é vazio.]

Passo 5

Fechamento por produto (produto de duas rotações corresponde à rotação pela soma dos ângulos).
  • Tome R_k,R_\ell\in F com ângulos \alpha=\dfrac{2k\pi}{n} e \beta=\dfrac{2\ell\pi}{n}.
  • Multiplicando explicitamente:
R_kR_\ell =\begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\[4pt]\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\beta & -\sin\beta\\[4pt]\sin\beta & \cos\beta\end{pmatrix}.
  • Usando as fórmulas trigonométricas
    \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta e
    \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,
    obtemos
R_kR_\ell =\begin{pmatrix}\cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta)\\[4pt]\sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta)\end{pmatrix}.
  • Como \alpha+\beta=\dfrac{2(k+\ell)\pi}{n}, a matriz produto é exatamente R_{k+\ell}, onde k+\ell é tomado módulo n (isto é, se k+\ell\ge n substitui-se por k+\ell-n, que ainda pertence ao conjunto de índices \{0,\dots,n-1\}).
  • Portanto R_kR_\ell\in F. Assim, F é fechado por produto.]

Passo 6

Fechamento por inversos (o inverso de uma rotação é a rotação pelo ângulo negativo).
  • Para R_k com ângulo \alpha=\dfrac{2k\pi}{n}, tem-se que a inversa é
R_k^{-1}=R_k^{T}=\begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha\\[4pt]-\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha)\\[4pt]\sin(-\alpha) & \cos(-\alpha)\end{pmatrix}=R_{-k}.
  • Aqui usei que para matrizes de rotação R^{-1}=R^{T} e que \cos é par e \sin é ímpar, por isso essa forma aparece.
  • O índice -k corresponde a n-k quando se quer um índice no conjunto \{0,1,\dots,n-1\}. Como n-k\in\{0,\dots,n-1\}, temos R_k^{-1}=R_{n-k}\in F.
  • Portanto todo elemento de F tem inverso em F.]

Passo 7

Conclusão e interpretação adicional (didática e útil para prova).
  • Verificamos identidade em F, fechamento por produto e fechamento por inversos; portanto F é subgrupo de GL(2).
  • Observação extra (útil para entender a estrutura): F é o conjunto das rotações de ângulos múltiplos de \dfrac{2\pi}{n}. Isso mostra que F é um subgrupo finito, gerado por
R_1=\begin{pmatrix}\cos\frac{2\pi}{n} & -\sin\frac{2\pi}{n}\\[4pt]\sin\frac{2\pi}{n} & \cos\frac{2\pi}{n}\end{pmatrix},
e que F é um grupo cíclico de ordem n (isomorfo ao grupo cíclico \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}). Essa observação ajuda a memorização e a resolver perguntas relacionadas em provas.]

Resposta

F é um subgrupo de GL(2) (é um subgrupo cíclico de ordem n, gerado por \begin{pmatrix}\cos\frac{2\pi}{n} & -\sin\frac{2\pi}{n}\\[4pt]\sin\frac{2\pi}{n} & \cos\frac{2\pi}{n}\end{pmatrix}).]

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