Verifique quais dos conjunto abaixo são subgrupos de
:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
A pergunta é: verificar se
é (ou não é) um subgrupo de
.
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
- Cada elemento de
é uma matriz parametrizada por um inteiro entre e . - A matriz correspondente a
é a matriz de rotação de ângulo .]
Passo 2
Lembrete (critérios de subgrupo) — aqui vou explicar bem devagarinho:
- Seja
. Um subconjunto é subgrupo se satisfaz três condições equivalentes (escolho a versão prática): -
não é vazio (ou contém a identidade de ); -
é fechado por produto: se então ; -
é fechado por inverso: se então .
-
- Observação útil: associatividade já vale porque matrizes associam automaticamente (herdado de
), então não precisamos provar associatividade.
Vamos verificar esses pontos para.
Passo 3
Verificar que os elementos de
realmente estão em
(ou seja, são invertíveis).
- Tome a matriz genérica de
:
- Calcule o determinante de
:
usando a identidade trigonométrica
.
- Como
, cada é invertível, logo . Portanto .]
Passo 4
Verificar se a identidade de
está em
.
- A identidade é
. - Para
temos
- Logo
e não é vazio.]
Passo 5
Fechamento por produto (produto de duas rotações corresponde à rotação pela soma dos ângulos).
- Tome
com ângulos e . - Multiplicando explicitamente:
- Usando as fórmulas trigonométricas
e
,
obtemos
- Como
, a matriz produto é exatamente , onde é tomado módulo (isto é, se substitui-se por , que ainda pertence ao conjunto de índices ). - Portanto
. Assim, é fechado por produto.]
Passo 6
Fechamento por inversos (o inverso de uma rotação é a rotação pelo ângulo negativo).
- Para
com ângulo , tem-se que a inversa é
- Aqui usei que para matrizes de rotação
e que é par e é ímpar, por isso essa forma aparece. - O índice
corresponde a quando se quer um índice no conjunto . Como , temos . - Portanto todo elemento de
tem inverso em .]
Passo 7
Conclusão e interpretação adicional (didática e útil para prova).
- Verificamos identidade em
, fechamento por produto e fechamento por inversos; portanto é subgrupo de . - Observação extra (útil para entender a estrutura):
é o conjunto das rotações de ângulos múltiplos de . Isso mostra que é um subgrupo finito, gerado por
e que
é um grupo cíclico de ordem
(isomorfo ao grupo cíclico
). Essa observação ajuda a memorização e a resolver perguntas relacionadas em provas.]