Verifique quais dos conjunto abaixo são subgrupos de
:
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- O conjunto dado é
Cada elemento de é uma matriz dependendo de um parâmetro real . - O grupo ambientede é
, o grupo das matrizes invertíveis com entradas reais, sob multiplicação. - A pergunta: verificar se
é um subgrupo de . Ou seja, confirmar se é um subconjunto de que, com a multiplicação de matrizes, satisfaz as propriedades necessárias para ser um grupo por si mesmo.]
Passo 2
Vou explicar quais propriedades precisamos checar para decidir se um subconjunto
de um grupo
é subgrupo:
- Definição prática (critério usado aqui): um subconjunto
é subgrupo se -
não é vazio (ou contém a identidade de ); -
é fechado sob o produto: se então ; - Todo elemento de
tem inverso em : se então .
-
- Observação sobre associatividade: a operação é a multiplicação de matrizes; como a multiplicação de matrizes é associativa em
, a associatividade vale automaticamente para qualquer subconjunto, então não precisamos checar associatividade separadamente. - Estratégia: mostrar explicitamente identidade em
, fechar sob produto e que inversos permanecem em . Vou fazer contas elementares de matrizes e usar identidades trigonométricas básicas quando necessário.
Passo 3
Verificar que
não é vazio e que contém a identidade.
- Tomando
na matriz genérica, obtemos que é a matriz identidade de . - Portanto
contém a identidade e não é vazio.]
Passo 4
Verificar que
é fechado sob multiplicação (produto de duas matrizes de
fica em
).
- Seja
com . - Calcule o produto
por linhas colunas, mostrando cada entrada: - Simplificando com sinais:
- Usando as identidades trigonométricas de soma de ângulos:
concluímos
- Logo, o produto de dois elementos de
é outro elemento de . Assim, é fechado sob multiplicação.]
Passo 5
Verificar que todo elemento de
tem inverso em
.
- Primeiro calcule o determinante da matriz genérica
: Como , cada é invertível, portanto . - Podemos obter explicitamente o inverso pelo fórmula da inversa de matriz
ou observando que a transposta de é Calcule : Assim ; ou seja, é ortogonal. - Compare
com . Como e , tem-se Portanto . - Conclusão: inverso de qualquer elemento de
permanece em .]
Passo 6
Juntando os resultados:
- Contém a identidade (
). - É fechado sob produto (produto corresponde a soma de ângulos, permanecendo no mesmo formato).
- Todo elemento tem inverso em
(inverso é ).
Por isso
satisfaz os três requisitos do critério de subgrupo. Além disso, cada
tem determinante
, então
(na verdade
, o grupo de rotações).