Verifique quais dos conjunto abaixo são subgrupos de G L(2) :
E=\left\{\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} ; \theta \in \mathbb{R}\right\}\

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • O conjunto dado é E=\left\{\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times2}\;:\;\theta\in\mathbb{R}\right\}.Cada elemento de E é uma matriz 2\times2 dependendo de um parâmetro real \theta.
  • O grupo ambientede é \,GL(2)\,, o grupo das matrizes invertíveis 2\times2 com entradas reais, sob multiplicação.
  • A pergunta: verificar se E é um subgrupo de GL(2). Ou seja, confirmar se E é um subconjunto de GL(2) que, com a multiplicação de matrizes, satisfaz as propriedades necessárias para ser um grupo por si mesmo.]

Passo 2

Vou explicar quais propriedades precisamos checar para decidir se um subconjunto H de um grupo G é subgrupo:
  • Definição prática (critério usado aqui): um subconjunto H\subseteq G é subgrupo se
    1. H não é vazio (ou contém a identidade de G);
    2. H é fechado sob o produto: se x,y\in H então xy\in H;
    3. Todo elemento de H tem inverso em H: se x\in H então x^{-1}\in H.
  • Observação sobre associatividade: a operação é a multiplicação de matrizes; como a multiplicação de matrizes é associativa em GL(2), a associatividade vale automaticamente para qualquer subconjunto, então não precisamos checar associatividade separadamente.
  • Estratégia: mostrar explicitamente identidade em E, fechar sob produto e que inversos permanecem em E. Vou fazer contas elementares de matrizes e usar identidades trigonométricas básicas quando necessário.

Passo 3

Verificar que E não é vazio e que contém a identidade.
  • Tomando \theta=0 na matriz genérica, obtemos \begin{pmatrix}\cos 0 & -\sin 0\\[4pt]\sin 0 & \cos 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I,que é a matriz identidade de GL(2).
  • Portanto E contém a identidade e não é vazio.]

Passo 4

Verificar que E é fechado sob multiplicação (produto de duas matrizes de E fica em E).
  • Seja R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad R(\varphi)=\begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi\\[4pt]\sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}com \theta,\varphi\in\mathbb{R}.
  • Calcule o produto R(\theta)R(\varphi) por linhas \times colunas, mostrando cada entrada: R(\theta)R(\varphi)= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi+(-\sin\theta)\sin\varphi & \cos\theta(-\sin\varphi)+(-\sin\theta)\cos\varphi\\[6pt] \sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi & \sin\theta(-\sin\varphi)+\cos\theta\cos\varphi \end{pmatrix}.
  • Simplificando com sinais: R(\theta)R(\varphi)= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi & -\big(\cos\theta\sin\varphi+\sin\theta\cos\varphi\big)\\[6pt] \sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi & -\sin\theta\sin\varphi+\cos\theta\cos\varphi \end{pmatrix}.
  • Usando as identidades trigonométricas de soma de ângulos: \cos(\theta+\varphi)=\cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi,
\sin(\theta+\varphi)=\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi,
concluímos
R(\theta)R(\varphi)=\begin{pmatrix}\cos(\theta+\varphi) & -\sin(\theta+\varphi)\\[4pt]\sin(\theta+\varphi) & \cos(\theta+\varphi)\end{pmatrix}=R(\theta+\varphi).
  • Logo, o produto de dois elementos de E é outro elemento de E. Assim, E é fechado sob multiplicação.]

Passo 5

Verificar que todo elemento de E tem inverso em E.
  • Primeiro calcule o determinante da matriz genérica R(\theta): \det R(\theta)=\cos\theta\cdot\cos\theta-(-\sin\theta)\cdot\sin\theta=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.Como \det R(\theta)=1\neq 0, cada R(\theta) é invertível, portanto R(\theta)\in GL(2).
  • Podemos obter explicitamente o inverso pelo fórmula da inversa de matriz 2\times2 ou observando que a transposta de R(\theta) é R(\theta)^{T}=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\[4pt]-\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.Calcule R(\theta)^T R(\theta): R(\theta)^T R(\theta)= \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\[4pt]-\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I.Assim R(\theta)^T=R(\theta)^{-1}; ou seja, R(\theta) é ortogonal.
  • Compare R(\theta)^{-1}=R(\theta)^T com R(-\theta). Como \cos(-\theta)=\cos\theta e \sin(-\theta)=-\sin\theta, tem-se R(-\theta)=\begin{pmatrix}\cos(-\theta) & -\sin(-\theta)\\[4pt]\sin(-\theta) & \cos(-\theta)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\[4pt]-\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}=R(\theta)^T.Portanto R(\theta)^{-1}=R(-\theta)\in E.
  • Conclusão: inverso de qualquer elemento de E permanece em E.]

Passo 6

Juntando os resultados:
  • Contém a identidade ( \theta=0).
  • É fechado sob produto (produto corresponde a soma de ângulos, permanecendo no mesmo formato).
  • Todo elemento tem inverso em E (inverso é R(-\theta)).
Por isso E satisfaz os três requisitos do critério de subgrupo. Além disso, cada R(\theta) tem determinante 1, então E\subseteq GL(2) (na verdade E\subseteq SO(2), o grupo de rotações).

Resposta

E é um subgrupo de GL(2).

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