Verifique se o conjunto dado com as operações especificadas de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial complexo. V=\mathbb{C}^{2}, com a soma usual e a multiplicação por escalar definida por a\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\bar{a} x_{1}, \bar{a} x_{2}\right).
Passo 1
O enunciado define V=\mathbb{C}^2 com a soma usual
Queremos verificar se isso satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{C}: primeiro que (V,+) é grupo abeliano e depois as propriedades de compatibilidade da multiplicação escalar.
Passo 2
O par (V,+) é claramente um grupo abeliano porque é justamente o grupo aditivo de \mathbb{C}^2:
Fechamento e associatividade seguem da adição em \mathbb{C}.
Elemento neutro é (0,0).
Inverso de (x_1,x_2) é (-x_1,-x_2).
Comutatividade óbvia em cada coordenada.
Passo 3
Verificamos a distributividade da multiplicação por escalar sobre a soma de vetores. Para a\in\mathbb{C} e u=(x_1,x_2), v=(y_1,y_2):
Portanto, todas as propriedades de espaço vetorial estão satisfeitas.
Resposta
Sim, V=\mathbb{C}^2 com a soma usual e a multiplicação por escalar a\,(x_1,x_2)=(\overline{a}x_1,\overline{a}x_2) é um espaço vetorial sobre \mathbb{C}.