Verifique se o conjunto dado com as operações especificadas de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial complexo.
V=\mathbb{C}^{2}, com a soma usual e a multiplicação por escalar definida por a\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\bar{a} x_{1}, \bar{a} x_{2}\right).

Passo 1

O enunciado define V=\mathbb{C}^2 com a soma usual
(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,\;x_2+y_2)
e a multiplicação por escalar dada por
a\,(x_1,x_2)=\bigl(\overline{a}\,x_1,\;\overline{a}\,x_2\bigr).
Queremos verificar se isso satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{C}: primeiro que (V,+) é grupo abeliano e depois as propriedades de compatibilidade da multiplicação escalar.

Passo 2

O par (V,+) é claramente um grupo abeliano porque é justamente o grupo aditivo de \mathbb{C}^2:
  1. Fechamento e associatividade seguem da adição em \mathbb{C}.
  2. Elemento neutro é (0,0).
  3. Inverso de (x_1,x_2) é (-x_1,-x_2).
  4. Comutatividade óbvia em cada coordenada.

Passo 3

Verificamos a distributividade da multiplicação por escalar sobre a soma de vetores. Para a\in\mathbb{C} e u=(x_1,x_2), v=(y_1,y_2):
a\,(u+v) = a\,(x_1+y_1,\;x_2+y_2) =\bigl(\overline{a}(x_1+y_1),\;\overline{a}(x_2+y_2)\bigr) =\bigl(\overline{a}x_1+\overline{a}y_1,\;\overline{a}x_2+\overline{a}y_2\bigr) =a\,u \;+\;a\,v.

Passo 4

Verificamos a distributividade sobre a soma de escalares. Para a,b\in\mathbb{C} e v=(x_1,x_2):
(a+b)\,v =\bigl(\overline{a+b}\,x_1,\;\overline{a+b}\,x_2\bigr) =\bigl((\overline{a}+\overline{b})x_1,\;(\overline{a}+\overline{b})x_2\bigr) =\bigl(\overline{a}x_1,\;\overline{a}x_2\bigr) \;+\;\bigl(\overline{b}x_1,\;\overline{b}x_2\bigr) =a\,v\;+\;b\,v.

Passo 5

Verificamos a compatibilidade entre produtos escalares e a existência do escalar neutro. Para a,b\in\mathbb{C} e v=(x_1,x_2):
(ab)\,v =\bigl(\overline{ab}\,x_1,\;\overline{ab}\,x_2\bigr) =\bigl(\overline{a}\,\overline{b}\,x_1,\;\overline{a}\,\overline{b}\,x_2\bigr) =a\bigl(\overline{b}x_1,\;\overline{b}x_2\bigr) =a\,(b\,v).
Além disso,
1\,v=\bigl(\overline{1}\,x_1,\;\overline{1}\,x_2\bigr)=(x_1,x_2)=v.
Portanto, todas as propriedades de espaço vetorial estão satisfeitas.

Resposta

Sim, V=\mathbb{C}^2 com a soma usual e a multiplicação por escalar a\,(x_1,x_2)=(\overline{a}x_1,\overline{a}x_2) é um espaço vetorial sobre \mathbb{C}.

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