Verifique se o conjunto dado com as operações especificadas de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial complexo.
V=\{(x, \bar{x}) ; x \in \mathbb{C}\}, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = \{(x,\bar x)\mid x\in \mathbb{C}\}
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar (onde o escalar pertence a \mathbb{C}). Queremos verificar se V é um espaço vetorial sobre o corpo dos complexos. Para isso precisamos checar, entre outros axiomas, se V é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar em \mathbb{C}.

Passo 2

Verificação da soma: tomemos dois vetores quaisquer em V, (x,\bar x) e (y,\bar y) com x,y\in\mathbb{C}. A soma é
(x,\bar x)+(y,\bar y) = (\,x+y,\;\bar x+\bar y\,).
Como \bar x+\bar y = \overline{x+y}, o resultado fica
(x+y,\overline{x+y}),
que é claramente um elemento de V. Logo V é fechado sob soma.

Passo 3

Verificação da multiplicação por escalar: tomemos \lambda\in\mathbb{C} e (x,\bar x)\in V. Então
\lambda\,(x,\bar x) = (\lambda x,\;\lambda\bar x).
Para que esse produto ainda pertença a V, precisaríamos ter
\lambda\bar x \;=\;\overline{\lambda x}\;=\;\bar\lambda\,\bar x
para todo x. Isso exige
\lambda\bar x = \bar\lambda\,\bar x \quad\Longrightarrow\quad (\lambda-\bar\lambda)\,\bar x = 0\quad\forall x.
Como podemos escolher x tal que \bar x\neq0, só funciona quando \lambda=\bar\lambda, ou seja, \lambda é real. Conclusão: para \lambda complexo genérico (por exemplo \lambda=i) não vale a condição, e portanto \lambda\,(x,\bar x)\notin V.

Resposta

V não é um espaço vetorial sobre \mathbb{C}, pois não é fechado sob multiplicação por escalar em \mathbb{C}.

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