Verifique se o conjunto \mathcal{B}=\{(1,0,1),(0,1,-1),(2,1,0)\} gera o espaço \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \mathcal{B}=\{(1,0,1),(0,1,-1),(2,1,0)\} gera o espaço \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas: os três vetores (1,0,1), (0,1,-1) e (2,1,0) pertencem a \mathbb{R}^{3}.
Pergunta clara: para todo vetor arbitrário (a,b,c)\in\mathbb{R}^{3} existe uma combinação linear dos vetores de \mathcal{B} que produza (a,b,c)? Se sim, \mathcal{B} gera \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

O que significa "gerar \mathbb{R}^{3}" na prática? Significa que qualquer vetor (a,b,c) pode ser escrito como combinação linear dos vetores de \mathcal{B}. Ou seja, existem escalares x,y,z\in\mathbb{R} tais que
x(1,0,1)+y(0,1,-1)+z(2,1,0)=(a,b,c).
Se para todo (a,b,c) conseguirmos encontrar x,y,z, então \mathcal{B} gera \mathbb{R}^{3}. Vou resolver esse sistema geral e mostrar que sempre existe (e é único) solução.

Passo 3

Escrevendo coordenada a coordenada a combinação linear acima obtemos o sistema (cada linha é uma coordenada):
\begin{cases} x + 0\cdot y + 2z = a,\\[4pt] 0\cdot x + y + z = b,\\[4pt] x - y + 0\cdot z = c. \end{cases}
Simplificando os zeros:
\begin{cases} x + 2z = a,\\[4pt] y + z = b,\\[4pt] x - y = c. \end{cases}
Agora vamos resolver esse sistema para x,y,z em função de a,b,c.]

Passo 4

Da terceira equação temos uma expressão simples para x:
x = c + y.
Da segunda equação isolamos y:
y = b - z.
Substituímos y=b-z e x=c+y na primeira equação x+2z=a. Primeiro escrevendo x em termos de z:
x = c + y = c + (b - z) = b + c - z.
Agora substituímos em x+2z=a:
(b + c - z) + 2z = a.
Simplificando:
b + c + z = a.
Assim obtemos z:
z = a - c - b.

Passo 5

Agora que temos z, voltamos para encontrar y e x. Usando y=b-z:
y = b - (a - c - b) = 2b - a + c.
E usando x=c+y:
x = c + (2b - a + c) = 2b - a + 2c.
Portanto, para um vetor arbitrário (a,b,c) encontramos coeficientes
x = 2b - a + 2c,\quad y = 2b - a + c,\quad z = a - c - b.
Esses valores satisfazem as três equações (pode-se checar substituindo de volta), então para qualquer (a,b,c) existe uma combinação linear dos vetores de \mathcal{B} que dá (a,b,c).

Passo 6

Conclusão prática: como para qualquer vetor (a,b,c)\in\mathbb{R}^{3} existe solução para x,y,z, o conjunto \mathcal{B} gera \mathbb{R}^{3}. Além disso, a solução para x,y,z é única para cada (a,b,c), o que implica que os três vetores são linearmente independentes; portanto formam uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: tome (a,b,c)=(1,2,3). Pelas fórmulas,
z = 1 - 3 - 2 = -4,\quad y = 2\cdot2 - 1 + 3 = 6,\quad x = 2\cdot2 - 1 + 2\cdot3 = 9.
Verificando:
9(1,0,1)+6(0,1,-1)-4(2,1,0) = (9-8,\;6-4,\;9-6) = (1,2,3),
funciona! Ótimo sinal de consistência.

Resposta

Sim. \mathcal{B} gera \mathbb{R}^{3} (além disso, os vetores formam uma base de \mathbb{R}^{3}).

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