Sendo \|\vec{u}\|=2, \|\vec{v}\|=3 e 120^{\circ} o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, calcule:
\|\vec{u} \times \vec{v}\|

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\|\vec{u}\|=2, \|\vec{v}\|=3 e o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é 120^\circ.
Pede-se calcular \|\vec{u}\times\vec{v}\|.

Passo 2

Vamos usar a fórmula geométrica básica para o módulo do produto vetorial. A interpretação geométrica é que \|\vec{u}\times\vec{v}\| é a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}. A fórmula é:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Aqui:
  • \|\vec{u}\| é o comprimento (módulo) do vetor \vec{u},
  • \|\vec{v}\| é o comprimento do vetor \vec{v},
  • \sin\theta é o seno do ângulo entre eles.
    Essa fórmula vem do fato que a área do paralelogramo é base vezes altura; escolhendo \|\vec{u}\| como base, a altura relativa a \vec{v} é \|\vec{v}\|\sin\theta.

Passo 3

Substituímos os valores dados na fórmula:
\|\vec{u}\times\vec{v}\| = 2\cdot 3\cdot \sin(120^\circ).

Passo 4

Calculamos \sin(120^\circ). Usando a identidade \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha, temos
\sin(120^\circ)=\sin(180^\circ-60^\circ)=\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo na expressão:
\|\vec{u}\times\vec{v}\| = 2\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
Agora simplificamos: o 2 no numerador cancela com o denominador, sobrando
\|\vec{u}\times\vec{v}\| = 3\sqrt{3}.

Passo 5

Como verificação alternativa (útil para a prova): existe a identidade
\|\vec{u}\times\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2-(\vec{u}\cdot\vec{v})^2.
Calculamos \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta=2\cdot3\cdot\cos(120^\circ)=6\cdot(-\tfrac{1}{2})=-3. Então
\|\vec{u}\times\vec{v}\|^2 = (2^2)(3^2)-(-3)^2 = 4\cdot9-9=36-9=27,
logo \|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{27}=3\sqrt{3}, confirmando o resultado.

Resposta

3\sqrt{3}

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