Verifique se o conjunto
são linearmente independentes. Justifique com argumentos matemáticos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto
é linearmente independente. Isso está dentro da matéria de álgebra linear, mais especificamente no estudo de dependência e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e como verificar se uma combinação linear igual a zero só tem a solução trivial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores (ou funções, no caso) ser linearmente independente. Dizemos que os vetores são linearmente independentes se a única maneira de obter uma combinação linear igual a zero é atribuindo todos os coeficientes a zero. Ou seja, se temos:
A única solução para
deve ser
.
Passo 3
Vamos montar essa equação:
Isso precisa valer para todo valor de
. Nosso objetivo é mostrar que a única solução possível para essa equação é que todos os coeficientes
sejam zero.
Passo 4
Agora, vamos analisar a equação. O termo
é uma função exponencial, que é linearmente independente dos termos polinomiais como
e
. Isso significa que não há combinação de
e
que possa gerar
, e vice-versa. Portanto, para que a soma seja zero para todos os
, cada coeficiente deve ser zero.
Passo 5
Formalmente, se tentarmos resolver a equação:
Para que isso seja verdadeiro para todo
, precisamos que
,
e
, pois não há valores de
e
que possam cancelar o termo
para todos os
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente, já que a única solução para a combinação linear igual a zero é que todos os coeficientes sejam zero.