Verifique se os conjuntos a seguir, com as operações indicadas de soma e produto por escalar real sãoespaços vetoriais. Em caso negativo, destaque quais propriedades falharam.
  • V=R^2 com as operações
(x1, x2)+(y1, y2)=(x1-y1, x2-y2) e lambda(x1, x2)=(-lambda x1,-lambda x2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto V=R^2, com a adição
(x1,x2)+(y1,y2)=(x1 - y1,;x2 - y2)
e o produto por escalar
lambda,(x1,x2)=(-lambda x1,;- lambda x2),
satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre R. Para isso precisamos checar, pelo menos, se (V,+) é um grupo abeliano e se a multiplicação por escalar cumpre as propriedades usuais (identidade, distributividades e compatibilidade).

Passo 2

Verificamos a associatividade da soma. Dados x,y,zin V,
(x+y)+z=(,x1 - y1,;x2 - y2,)+ (z1,z2) =(,x1 - y1 - z1,;x2 - y2 - z2,),
enquanto
x+(y+z)=(x1,x2)+(,y1 - z1,;y2 - z2,) =(,x1 - (y1 - z1),;x2 - (y2 - z2),) =(,x1 - y1 + z1,;x2 - y2 + z2,)
Em geral
x1 - y1 - z1 neq x1 - y1 + z1,
logo a suma não é associativa.

Passo 3

Verificamos a comutatividade da soma. Para x,yin V:
x+y=(,x1 - y1,;x2 - y2,), y+x=(,y1 - x1,;y2 - x2,)
Em geral x1 - y1neq y1 - x1, então a soma não é comutativa.

Passo 4

Mesmo que a soma fosse um grupo abeliano, a ação de 1inR falha:
1cdot (x1,x2)=(-1cdot x1,;-1cdot x2)=(-x1,-x2)neq(x1,x2) (se (x1,x2)neq(0,0))
Logo, falha também a propriedade 1cdot v=v.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial, pois falham ao menos:
  • a associatividade da adição,
  • a comutatividade da adição,
  • a identidade multiplicativa 1cdot v=v.

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