Verifique se os conjuntos a seguir, com as operações indicadas de soma e produto por escalar real sãoespaços vetoriais. Em caso negativo, destaque quais propriedades falharam.
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com as operações
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
, com a adição
e o produto por escalar
satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre
. Para isso precisamos checar, pelo menos, se
é um grupo abeliano e se a multiplicação por escalar cumpre as propriedades usuais (identidade, distributividades e compatibilidade).
Passo 2
Verificamos a associatividade da soma. Dados
,
enquanto
Em geral
logo a suma não é associativa.
Passo 3
Verificamos a comutatividade da soma. Para
:
Em geral
, então a soma não é comutativa.
Passo 4
Mesmo que a soma fosse um grupo abeliano, a ação de
falha:
Logo, falha também a propriedade
.
Resposta
O conjunto não é um espaço vetorial, pois falham ao menos:
- a associatividade da adição,
- a comutatividade da adição,
- a identidade multiplicativa
.