Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Espaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar {k / k \in \mathbb{R}\}. Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Subespaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar \({k / k \in \mathbb{R}\}. \(\mathbb{E}=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] / a, b, c, d \in \mathbb{R}\right\}.)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
\mathbb{E} = \left\{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\,\bigm|\,a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\}
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em M_{2\times2}(\mathbb{R}) forma um espaço vetorial (ou seja, um subespaço vetorial de si mesmo). Para isso, vamos usar a definição de espaço vetorial sobre \mathbb{R} e checar os axiomas principais: fechamento em soma e escalar, existência de elemento neutro e inversos aditivos, e herança das demais propriedades associativas e distributivas.]

Passo 2

Recordando os axiomas centrais de espaço vetorial sobre \mathbb{R}:
  1. Fechamento sob soma: se A,B\in\mathbb{E} então A+B\in\mathbb{E}.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: se A\in\mathbb{E} e k\in\mathbb{R} então kA\in\mathbb{E}.
  3. Existência do vetor nulo: deve haver 0\in\mathbb{E} tal que A+0=A para todo A.
  4. Existência de inverso aditivo: para cada A\in\mathbb{E} existe -A\in\mathbb{E} com A+(-A)=0.
    As demais propriedades (associatividade, comutatividade da soma, leis distributivas e identidade escalar) vêm automaticamente de M_{2\times2}(\mathbb{R}), que já é um espaço vetorial conhecido.

Passo 3

Verificando o fechamento em soma: sejam
A=\begin{pmatrix}a_1 & b_1\\\ c_1 & d_1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}a_2 & b_2\\\ c_2 & d_2\end{pmatrix}
com a_i,b_i,c_i,d_i\in\mathbb{R}. Então
A+B = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2\\[4pt] c_1+c_2 & d_1+d_2\end{pmatrix},
e como cada entrada é soma de reais, A+B também está em \mathbb{E}.]

Passo 4

Verificando o fechamento sob escalar: seja k\in\mathbb{R} e
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}.
Então
kA = \begin{pmatrix}k\,a & k\,b\\[4pt] k\,c & k\,d\end{pmatrix},
e como k\,a,k\,b,k\,c,k\,d\in\mathbb{R}, segue kA\in\mathbb{E}.]

Passo 5

Identidade aditiva e inversos: o zero de M_{2\times2}(\mathbb{R}) é
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
que claramente está em \mathbb{E} e satisfaz A+0=A. Para cada
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
o inverso aditivo é
-A = \begin{pmatrix}-a & -b\\\\ -c & -d\end{pmatrix}\in\mathbb{E},
pois (a)+(-a)=0, etc.]

Resposta

O conjunto \mathbb{E} é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} (e, portanto, um subespaço vetorial de si mesmo), pois satisfaz fechamento em soma e escalar, além de conter o vetor nulo e os inversos aditivos.

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