Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Espaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar {k / k \in \mathbb{R}\}. Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Subespaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar \({k / k \in \mathbb{R}\}.
\(\mathbb{E}=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] / a, b, c, d \in \mathbb{R}\right\}.)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
\mathbb{E} = \left\{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\,\bigm|\,a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\}
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em M_{2\times2}(\mathbb{R}) forma um espaço vetorial (ou seja, um subespaço vetorial de si mesmo). Para isso, vamos usar a definição de espaço vetorial sobre \mathbb{R} e checar os axiomas principais: fechamento em soma e escalar, existência de elemento neutro e inversos aditivos, e herança das demais propriedades associativas e distributivas.]
Passo 2
Recordando os axiomas centrais de espaço vetorial sobre \mathbb{R}:
Fechamento sob soma: se A,B\in\mathbb{E} então A+B\in\mathbb{E}.
Fechamento sob multiplicação por escalar: se A\in\mathbb{E} e k\in\mathbb{R} então kA\in\mathbb{E}.
Existência do vetor nulo: deve haver 0\in\mathbb{E} tal que A+0=A para todo A.
Existência de inverso aditivo: para cada A\in\mathbb{E} existe -A\in\mathbb{E} com A+(-A)=0.
As demais propriedades (associatividade, comutatividade da soma, leis distributivas e identidade escalar) vêm automaticamente de M_{2\times2}(\mathbb{R}), que já é um espaço vetorial conhecido.
que claramente está em \mathbb{E} e satisfaz A+0=A. Para cada
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
o inverso aditivo é
-A = \begin{pmatrix}-a & -b\\\\ -c & -d\end{pmatrix}\in\mathbb{E},
pois (a)+(-a)=0, etc.]
Resposta
O conjunto \mathbb{E} é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} (e, portanto, um subespaço vetorial de si mesmo), pois satisfaz fechamento em soma e escalar, além de conter o vetor nulo e os inversos aditivos.