Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Espaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar {k / k \in \mathbb{R}\}. Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Subespaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar \({k / k \in \mathbb{R}\}. \(\mathbb{D}=\{(x, y) / x, y=2 x \in \mathbb{R}\}.)

Passo 1

O enunciado define o conjunto
\mathbb{D} = \{(x,y)\mid y = 2x,\;x\in\mathbb{R}\}
e pede para verificar se \mathbb{D} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2. Para isso, vamos checar três propriedades fundamentais: existência do vetor zero, fechamento em relação à soma e fechamento em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo de \mathbb{R}^2, ou seja
(0,0),
pertence a \mathbb{D}. Como 0 = 2\cdot 0, temos (0,0)\in\mathbb{D}. Logo, o vetor zero está em \mathbb{D}.

Passo 3

Checamos o fechamento sob soma. Tomemos (x_1,y_1)\in\mathbb{D} e (x_2,y_2)\in\mathbb{D}. Então
y_1 = 2x_1 \quad\text{e}\quad y_2 = 2x_2.
A soma é
(x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (\,x_1+x_2,\;y_1+y_2\,) = \bigl(x_1+x_2,\;2x_1+2x_2\bigr) = \bigl(x_1+x_2,\;2(x_1+x_2)\bigr),
que satisfaz a equação y=2x. Logo, (x_1,y_1)+(x_2,y_2)\in\mathbb{D}.

Passo 4

Checamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja k\in\mathbb{R} e (x,y)\in\mathbb{D} com y=2x. Então
k\,(x,y) = (\,k x,\;k y\,) = \bigl(kx,\;k\cdot 2x\bigr) = \bigl(kx,\;2(kx)\bigr),
e novamente y=2x vale para o par (kx,2kx). Assim, k\,(x,y)\in\mathbb{D}.

Resposta

\mathbb{D} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2, pois satisfaz o vetor zero, o fechamento sob soma e o fechamento sob multiplicação por escalar.

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