Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Espaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar {k / k \in \mathbb{R}\}. Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Subespaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar \({k / k \in \mathbb{R}\}. \(\mathbb{F}=\left\{\left[\begin{array}{cc}a & 0 \\\\ 0 & d\end{array}\right] / a, d \in \mathbb{R}\right\}.)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
\mathbb{F}=\left\{\begin{pmatrix}a & 0 \\[4pt] 0 & d\end{pmatrix}\;\Big|\;a,d\in\mathbb{R}\right\}
é um subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}) com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. Lembrando que, para ser subespaço, basta mostrar que
  1. contém o vetor zero;
  2. é fechado sob soma;
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.]

Passo 2

Verificamos se a matriz zero \displaystyle\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
pertence a \mathbb{F}. Basta escolher a=0 e d=0, obtendo a matriz nula, logo o vetor zero está em \mathbb{F}.

Passo 3

Mostramos o fechamento sob soma. Tomemos \displaystyle A=\begin{pmatrix}a_1 & 0 \\\\ 0 & d_1\end{pmatrix} e \displaystyle B=\begin{pmatrix}a_2 & 0 \\\\ 0 & d_2\end{pmatrix} em \mathbb{F}. Então
A+B =\begin{pmatrix}a_1+a_2 & 0 \\[4pt] 0 & d_1+d_2\end{pmatrix},
que é novamente uma matriz diagonal com entradas reais, logo A+B\in\mathbb{F}.]

Passo 4

Mostramos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja k\in\mathbb{R} e \displaystyle A=\begin{pmatrix}a & 0 \\\\ 0 & d\end{pmatrix} em \mathbb{F}. Então
kA =\begin{pmatrix}k\,a & 0 \\[4pt] 0 & k\,d\end{pmatrix},
que também é uma matriz diagonal com entradas em \mathbb{R}, logo kA\in\mathbb{F}.]

Resposta

\mathbb{F} é um subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

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