Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto 
 .
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função 
  é contínua no ponto 
 . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente o conceito de continuidade em funções de duas variáveis. A gente vai precisar entender como calcular o limite da função quando 
  se aproxima de 
  e comparar esse limite com o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função 
  é contínua no ponto 
  se o limite de 
  quando 
  se aproxima de 
  for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar se:
E sabemos que 
 .
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de 
  quando 
 . A função é dada por:
Para encontrar esse limite, uma técnica eficiente é usar coordenadas polares, onde 
  e 
 . Isso simplifica a expressão e nos ajuda a ver como o limite se comporta quando 
  (a distância até 
 ) tende a zero.
Passo 4
Vamos substituir 
  e 
  por 
  e 
  na função:
Simplificando os termos:
Podemos cancelar 
  no numerador e denominador:
Passo 5
Agora, observe que o denominador pode ser simplificado:
Então:
Como 
  é limitado (sempre entre -1/2 e 1/2), a expressão acima está sempre limitada por constantes. Mas lembre-se que estamos interessados no limite quando 
 . Porém, após simplificação, percebemos que o limitante não depende de 
 , apenas de 
 . Isso sugere que o limite pode não existir ou depender de 
 .
No entanto, vamos reavaliar o passo anterior. Percebi que houve um erro na simplificação. Na verdade, ao cancelar 
 , a expressão correta fica:
E como 
  não aparece mais, o limite dependeria apenas de 
 . Para verificar a continuidade, precisamos que esse valor seja o mesmo independente de 
 .
Vamos testar diferentes valores de 
 :
- Para 
:  
- Para 
:  
Vemos que o limite varia dependendo do caminho escolhido. Ou seja, o limite não existe de maneira única quando 
 .
Resposta
Como o limite de 
  quando 
  depende do caminho seguido e não é igual a 
 , concluímos que a função 
  não é contínua no ponto 
 .