Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3} y}{x^{6}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array} \quad\right. em \quad(0,0).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}y}{x^{6}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para checar continuidade em (0,0). Vamos usar o critério de limite em várias trajetórias e ver se o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) existe e vale 0.

Passo 2

Escolhemos a família de trajetórias dadas por
y=k\,x^{3},
onde k é constante. Essas curvas passam por (0,0) e permitem comparar diferentes atalhos de aproximação.

Passo 3

Em y=kx^{3}, para x\neq0 vale
f\bigl(x,kx^{3}\bigr) =\frac{x^{3}\,(k x^{3})}{x^{6}+(k x^{3})^{2}} =\frac{k\,x^{6}}{x^{6}+k^{2}x^{6}} =\frac{k}{1+k^{2}}.
Como esse valor independe de x, ao levar x\to0 obtém-se
\lim_{x\to0}f\bigl(x,kx^{3}\bigr) =\frac{k}{1+k^{2}},
que varia com k. Para k=0 0, mas para k=1 1/2, por exemplo.

Passo 4

Como o limite de f(x,y) ao aproximar (x,y)\to(0,0) depende da trajetória (do valor de k), não existe limite único igual a f(0,0)=0. Logo f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função não é contínua em (0,0).

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