Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados: f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3} y}{x^{6}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array} \quad\right. em \quad(0,0).
e pede para checar continuidade em (0,0). Vamos usar o critério de limite em várias trajetórias e ver se o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) existe e vale 0.
Passo 2
Escolhemos a família de trajetórias dadas por
y=k\,x^{3},
onde k é constante. Essas curvas passam por (0,0) e permitem comparar diferentes atalhos de aproximação.
que varia com k. Para k=0 dá 0, mas para k=1 dá 1/2, por exemplo.
Passo 4
Como o limite de f(x,y) ao aproximar (x,y)\to(0,0) depende da trajetória (do valor de k), não existe limite único igual a f(0,0)=0. Logo fnão é contínua em (0,0).