Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+y^{2} & \text { se } x^{2}+y^{2} \leq 1 \\\\ 2-\left(x^{2}+y^{2}\right) & \text { se } x^{2}+y^{2}>1\end{array} \quad\right. em \quad \partial D(0,1).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} x^{2}+y^{2}, & \text{se }x^{2}+y^{2}\le1,\\\\ 2-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr), & \text{se }x^{2}+y^{2}>1, \end{cases}
e pede para verificar a continuidade em todo ponto da fronteira \partial D(0,1)=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\}.

Passo 2

Escolha um ponto (x_{0},y_{0}) com x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1. Ao nos aproximarmos desse ponto por dentro do disco ( x^{2}+y^{2}<1), temos
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0}),\,x^{2}+y^{2}<1}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) =1.

Passo 3

Ao nos aproximarmos do mesmo ponto por fora do disco ( x^{2}+y^{2}>1), vale
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0}),\,x^{2}+y^{2}>1}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}\bigl[\,2-(x^{2}+y^{2})\bigr] =2-1=1.

Passo 4

No próprio ponto (x_{0},y_{0}) da fronteira, como x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1\le1, a definição usa a primeira parte, logo
f(x_{0},y_{0})=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1.

Passo 5

Como os limites vindos de dentro e de fora do disco coincidem entre si e com o valor f(x_{0},y_{0}), concluímos que f é contínua em todo ponto de \partial D(0,1).

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos da fronteira \partial D(0,1).

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