Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados: f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x \sin \left(\frac{1}{y}\right)+y \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text { se } x y \neq 0 \\\\ 0 & \text { se } x y=0\end{array}\right. em (0,0).
e pede para verificar se f é contínua em (0,0). Para isso, vamos usar a definição de continuidade em termos de limite: precisamos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0.
Passo 2
Primeiro note que em qualquer ponto (x,y) tal que xy=0, a própria definição dá f(x,y)=0. Em particular, ao aproximar-se de (0,0) por pontos do tipo (x,0) ou (0,y), temos sempre f(x,y)=0, de modo que o limite por essas direções é zero.
Passo 3
Agora examine pontos (x,y) com xy\neq0. Nesse caso