Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x \sin \left(\frac{1}{y}\right)+y \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text { se } x y \neq 0 \\\\ 0 & \text { se } x y=0\end{array}\right. em (0,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)= \begin{cases} x\sin\bigl(\tfrac{1}{y}\bigr)+y\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr),&\text{se }xy\neq0,\\\\ 0,&\text{se }xy=0 \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em (0,0). Para isso, vamos usar a definição de continuidade em termos de limite: precisamos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0.

Passo 2

Primeiro note que em qualquer ponto (x,y) tal que xy=0, a própria definição dá f(x,y)=0. Em particular, ao aproximar-se de (0,0) por pontos do tipo (x,0) ou (0,y), temos sempre f(x,y)=0, de modo que o limite por essas direções é zero.

Passo 3

Agora examine pontos (x,y) com xy\neq0. Nesse caso
f(x,y)=x\sin\bigl(\tfrac{1}{y}\bigr)+y\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).
Como \sin é limitada por -1 e 1, vale
\bigl|x\sin\bigl(\tfrac{1}{y}\bigr)\bigr|\le|x|, \qquad \bigl|y\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\bigr|\le|y|.
Então, pela desigualdade triangular,
\bigl|f(x,y)\bigr|\le|x|+|y|.

Passo 4

Ao fazer (x,y)\to(0,0), o somatório |x|+|y| tende a 0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl|f(x,y)\bigr|=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Resposta

A função f é contínua em (0,0), pois \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0).

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