Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados:
f(x, y)=e^{x / y} \quad em \quad(1,1) e (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função
f(x,y)=e^{x/y}
nos pontos (1,1) e (0,0).
O conteúdo envolve domínio de uma função de duas variáveis, continuidade por composição de funções contínuas e cálculo de limites por caminho.

Passo 2

Identificamos o domínio de f: é o conjunto \{(x,y)\mid y\neq0\}, pois em qualquer ponto em que y=0 a expressão x/y não está definida. Em particular, (1,1) pertence ao domínio, já (0,0) não.

Passo 3

Num ponto (x_0,y_0) em que y_0\neq0, a função g(x,y)=x/y é contínua (é quociente de polinômios com denominador não nulo) e a função exponencial h(u)=e^u é contínua em todo u. Logo, f=h\circ g é contínua em qualquer (x_0,y_0) com y_0\neq0. Em particular,
\lim_{(x,y)\to(1,1)}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(1,1)}e^{\,x/y} =e^{\,1/1} =e
e coincide com f(1,1)=e. Portanto, f é contínua em (1,1).

Passo 4

No ponto (0,0) temos y=0, ou seja, (0,0) não está no domínio de f. Logo não faz sentido falar em f(0,0) nem em continuidade aí, a menos que mostremos que existe um limite único \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) e então definir f(0,0). Vamos, portanto, investigar se esse limite existe.

Passo 5

Para ver se \lim_{(x,y)\to(0,0)}e^{x/y} existe, aproximamos por diferentes retas y=kx (com k\neq0):
se y=kx então
\frac{x}{y}=\frac{x}{kx}=\frac1k,
e
f(x,y)=e^{\,x/y}=e^{1/k}.
Assim, ao longo de cada reta y=kx o limite vale e^{1/k}, que depende de k. Como para escolhas diferentes de k obtemos valores diferentes, o limite não é único. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}e^{x/y}
não existe, de modo que não há como estender f continuamente em (0,0).

Resposta

f é contínua em (1,1) e não é contínua em (0,0).

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