Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados:
em
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a continuidade da função
nos pontos
e
.
O conteúdo envolve domínio de uma função de duas variáveis, continuidade por composição de funções contínuas e cálculo de limites por caminho.
O conteúdo envolve domínio de uma função de duas variáveis, continuidade por composição de funções contínuas e cálculo de limites por caminho.
Passo 2
Identificamos o domínio de
: é o conjunto
, pois em qualquer ponto em que
a expressão
não está definida. Em particular,
pertence ao domínio, já
não.
Passo 3
Num ponto
em que
, a função
é contínua (é quociente de polinômios com denominador não nulo) e a função exponencial
é contínua em todo
. Logo,
é contínua em qualquer
com
. Em particular,
e coincide com
. Portanto,
é contínua em
.
Passo 4
No ponto
temos
, ou seja,
não está no domínio de
. Logo não faz sentido falar em
nem em continuidade aí, a menos que mostremos que existe um limite único
e então definir
. Vamos, portanto, investigar se esse limite existe.
Passo 5
Para ver se
existe, aproximamos por diferentes retas
(com
):
se então
se
e
Assim, ao longo de cada reta
o limite vale
, que depende de
. Como para escolhas diferentes de
obtemos valores diferentes, o limite não é único. Portanto
não existe, de modo que não há como estender
continuamente em
.