Verifique a controlabilidade e a observabilidade dos seguintes sistemas representados em espaço de estados:
\dot{\mathbf{x}}(t)=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ -6 & -11 & -6\end{array}\right] \mathbf{x}(t)+\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right] u(t) ; \quad y(t)=\left[\begin{array}{lll}20 & 9 & 1\end{array}\right] \mathbf{x}(t)

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três estados com
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ -6 & -11 & -6 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}20 & 9 & 1\end{pmatrix}.
Precisamos verificar se o sistema é controlável e observável. Para isso, lembramos que o sistema é controlável se a matriz de controlabilidade
W_c = \bigl[B,\;A B,\;A^2 B\bigr]
tem posto igual a 3, e é observável se a matriz de observabilidade
W_o = \begin{pmatrix} C\\\ C A\\\ C A^2 \end{pmatrix}
também tem posto igual a 3.

Passo 2

Calculemos primeiro A B e A^2B.
A B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ -6 & -11 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -6\end{pmatrix},
A^2 B = A\,(A B) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ -6 & -11 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ -6\\\ 25\end{pmatrix}.
Assim
W_c = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -6\\\\ 1 & -6 & 25 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para checar o posto de W_c calculamos seu determinante:
\det(W_c) =0\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & -6\\\ -6 & 25\end{pmatrix} -0\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & -6\\\ 1 & 25\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & -6\end{pmatrix} =-1\neq0.
Logo \operatorname{rank}(W_c)=3 e o sistema é controlável.

Passo 4

Agora calculemos C A e C A^2.
C A = \begin{pmatrix}20 & 9 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ -6 & -11 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6 & 9 & 3\end{pmatrix},
C A^2 = (C A)\,A = \begin{pmatrix}-6 & 9 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ -6 & -11 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-18 & -39 & -9\end{pmatrix}.
Assim
W_o = \begin{pmatrix} 20 & 9 & 1\\\\ -6 & 9 & 3\\\\ -18 & -39 & -9 \end{pmatrix}.

Passo 5

Calculamos o determinante de W_o:
\det(W_o) =20\cdot\det\!\begin{pmatrix}9 & 3\\\ -39 & -9\end{pmatrix} -9\cdot\det\!\begin{pmatrix}-6 & 3\\\ -18 & -9\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-6 & 9\\\ -18 & -39\end{pmatrix} =144\neq0.
Logo \operatorname{rank}(W_o)=3 e o sistema é observável.

Resposta

O sistema é controlável e observável.

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