Verifique a convergência das séries alternadas abaixo com o Teste da Série Alternada.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{n+1}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{n+1}
usando o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz). Para aplicar esse teste, precisamos verificar duas coisas sobre
a_{n} = \frac{n}{n+1}\,:
  1. Se a_{n} é uma sequência não crescente.
  2. Se \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Passo 2

Analisamos o limite do termo geral a_{n}.
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{1 + 1/n} = 1.
Como esse limite é 1, não é zero.

Passo 3

Para qualquer série infinita \sum t_{n} é condição necessária de convergência que \lim_{n\to\infty}t_{n}=0. Aqui
t_{n} = (-1)^{n}\frac{n}{n+1}
e \lim_{n\to\infty}t_{n} não existe em zero (o módulo \frac{n}{n+1} tende a 1). Logo, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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