Verifique os dois lados do teorema da divergência para a região: 25 \leq x, y, z \leq 50 (em centímetros) e vetor densidade de fluxo elétrico \overrightarrow{\boldsymbol{D}}=z^{2}\left(y / z \hat{\boldsymbol{a}}_{x}+x / z \hat{\boldsymbol{a}}_{y}-x y / z^{3} \hat{\boldsymbol{a}}_{z}\right)\left[\mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}\right].

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência na região retangular
25\le x,y,z\le50\text{ cm},
com o vetor densidade de fluxo elétrico
\overrightarrow{D} =z^{2}\Bigl(\tfrac{y}{z}\,\hat a_{x}+\tfrac{x}{z}\,\hat a_{y}-\tfrac{xy}{z^{3}}\,\hat a_{z}\Bigr) \quad[\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}].
Para usar consistentemente as unidades do vetor (SI), vamos converter as dimensões para metros:
x,y,z\in[0,25,\,0,50]\text{ m}.
O Teorema da Divergência diz que
\iint_{\partial V}\!D\cdot dS \;=\; \iiint_{V}\!(\nabla\cdot D)\,dV.
Vamos calcular ambos os lados.

Passo 2

Primeiro achamos as componentes de D simplificando:
D_{x}=z^{2}\frac{y}{z}=y\,z, \quad D_{y}=z^{2}\frac{x}{z}=x\,z, \quad D_{z}=z^{2}\Bigl(-\frac{xy}{z^{3}}\Bigr)=-\frac{xy}{z}.
Agora a divergência:
\nabla\cdot D =\frac{\partial D_{x}}{\partial x} +\frac{\partial D_{y}}{\partial y} +\frac{\partial D_{z}}{\partial z} =0+0+\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(-\tfrac{xy}{z}\Bigr) =\frac{xy}{z^{2}}.

Passo 3

Calculamos o integral de volume
\iiint_{V}\!\frac{xy}{z^{2}}\,dV =\int_{0,25}^{0,50}\!\int_{0,25}^{0,50}\!\int_{0,25}^{0,50} \frac{xy}{z^{2}}\,dz\,dy\,dx.
Como é produto de funções de variáveis separadas:
\int_{0,25}^{0,50}x\,dx =\frac{1}{2}\bigl(0,50^{2}-0,25^{2}\bigr)=0,09375, \quad \int_{0,25}^{0,50}y\,dy=0,09375, \quad \int_{0,25}^{0,50}z^{-2}\,dz =\Bigl[-z^{-1}\Bigr]_{0,25}^{0,50}=2.
Multiplicando:
0,09375\times0,09375\times2 =0,017578125\\ [\mathrm{C}].

Passo 4

Agora o fluxo de D na superfície fechada. As faces em x e y dão contribuições nulas porque D_{x}=yz e D_{y}=xz não dependem de x nem de y, então os fluxos em pares de faces em x e em y se cancelam.
Ficam as faces em z:
\Phi =\iint_{z=0,50}D_{z}\,dA +\iint_{z=0,25}D_{z}\,(-dA) =\iint_{A}\Bigl(-\tfrac{xy}{0,50}\Bigr)dA -\iint_{A}\Bigl(-\tfrac{xy}{0,25}\Bigr)dA.
Isto é
\Phi =-2\!\iint_{A}xy\,dA +4\!\iint_{A}xy\,dA =2\!\iint_{A}xy\,dA, \quad A:[0,25,0,50]^{2}.
E
\iint_{A}xy\,dA =\Bigl(\int_{0,25}^{0,50}x\,dx\Bigr) \Bigl(\int_{0,25}^{0,50}y\,dy\Bigr) =0,09375\times0,09375=0,0087890625.
Logo
\Phi=2\times0,0087890625=0,017578125\\ [\mathrm{C}].
Isso coincide com o integral de volume.

Resposta

Ambos os lados do Teorema da Divergência valem
0,017578125\\ \mathrm{C}.

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