Sejam duas distribuições de cargas, cilíndricas e concêntricas, no ar, uma de raio (3 ) mm e outra de raio (5 ) mm. Sabendo-se que o campo elétrico entre as duas distribuições de cargas é dado por:
\vec{E}=\frac{50}{\rho} \vec{a}_{\rho} \quad \mathrm{V} / \mathrm{m} \quad \text { para } 0,003 \leq \rho \leq 0,005 \quad[\mathrm{~m}]
Determinar:
a) A densidade superficial de carga na superfície de raio ( 3 \quad ) mm;
b) A densidade de fluxo elétrico em um ponto a (4 ) mm do eixo das distribuições;
c) O fluxo total que atravessa uma superfície cilíndrica fechada de raio (5 ) mm e altura (10 ) mm.

Passo 1

O enunciado dá um campo elétrico entre duas cascas cilíndricas concêntricas, uma de raio interno a=3\:\mathrm{mm} e outra de raio externo b=5\:\mathrm{mm}, no ar (permitividade \varepsilon_0). O campo para a\le\rho\le b é
\vec{E}(\rho)=\frac{50}{\rho}\,\vec{a}_\rho\quad\text{[V/m].}
Pede-se
a) a densidade superficial de carga \sigma na superfície interna \rho=a;
b) a densidade de fluxo elétrico \vec{D} em \rho=4\:\mathrm{mm};
c) o fluxo total de \vec{D} através de um cilindro fechado de raio b e altura h=10\:\mathrm{mm}.

Passo 2

Para achar a densidade superficial de carga na casca interna usamos a condição de descontinuidade do campo elétrico no dielétrico–vácuo (aqui ar):
\sigma = \varepsilon_0\bigl(E_{\rho}(a^+)-E_{\rho}(a^-)\bigr).
Como dentro de \rho<a não há campo, E_{\rho}(a^-)=0, e logo
\sigma = \varepsilon_0\,E_{\rho}(a^+) = \varepsilon_0\;\frac{50}{a} = \varepsilon_0\;\frac{50}{0{,}003}\,.
Substituindo \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\:\mathrm{F/m},
\sigma =8{,}854\times10^{-12}\;\frac{50}{3\times10^{-3}} \approx1{,}48\times10^{-7}\:\mathrm{C/m^2}.

Passo 3

A densidade de fluxo elétrico \vec{D} em um meio linear é
\vec{D} = \varepsilon_0\,\vec{E}.
Em \rho=4\:\mathrm{mm}=0{,}004\:\mathrm{m},
D_{\rho}(0{,}004) = \varepsilon_0\,\frac{50}{0{,}004} =8{,}854\times10^{-12}\;\frac{50}{4\times10^{-3}} \approx1{,}11\times10^{-7}\:\mathrm{C/m^2},
na direção \vec{a}_\rho.

Passo 4

O fluxo total de \vec{D} através da superfície lateral do cilindro de raio b=5\:\mathrm{mm} e altura h=10\:\mathrm{mm}=0{,}01\:\mathrm{m} é
\Phi =\int_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S} =D_{\rho}(b)\,\bigl(2\pi\,b\,h\bigr).
Como
D_{\rho}(b) =\varepsilon_0\,\frac{50}{b} =\varepsilon_0\,\frac{50}{0{,}005},
segue
\Phi =\varepsilon_0\,\frac{50}{0{,}005}\;2\pi\,(0{,}005)\,(0{,}01) =\varepsilon_0\,50\;(2\pi\cdot0{,}01) =\pi\,\varepsilon_0 \approx2{,}78\times10^{-11}\:\mathrm{C}.

Resposta

a) \displaystyle\sigma=1{,}48\times10^{-7}\:\mathrm{C/m^2}.
b) \displaystyle\vec{D}(4\,\mathrm{mm})=1{,}11\times10^{-7}\,\vec{a}_\rho\:\mathrm{C/m^2}.
c) \displaystyle\Phi=\;2{,}78\times10^{-11}\:\mathrm{C}.

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