Dada a densidade de fluxo elétrico
, numa região do espaço livre:
a) Encontre o fluxo total através de um cilindro localizado em torno do eixo
, com raio
m e altura
m , centrado na origem;
b) Encontre o divergente da densidade de fluxo elétrico
;
c) Verifique o teorema da divergência.
a) Encontre o fluxo total através de um cilindro localizado em torno do eixo
b) Encontre o divergente da densidade de fluxo elétrico
c) Verifique o teorema da divergência.
Passo 1
O enunciado dá a densidade de fluxo elétrico
e pede:
a) o fluxo total através de um cilindro de raio m e altura
m, centrado na origem;
b) o divergente ;
c) a verificação do teorema da divergência (Gauss).
Vamos usar coordenadas cilíndricas e decompor a superfície em parte lateral, tampa superior e tampa inferior.
a) o fluxo total através de um cilindro de raio
b) o divergente
c) a verificação do teorema da divergência (Gauss).
Vamos usar coordenadas cilíndricas e decompor a superfície em parte lateral, tampa superior e tampa inferior.
Passo 2
Fluxo pela parte lateral (
,
,
).
Nesse caso, o elemento de área vetorial é
Nesse caso, o elemento de área vetorial é
e
Como
,
Passo 3
Fluxo pelas tampas superior (
) e inferior (
).
Em cada tampa, o elemento de área é
Em cada tampa, o elemento de área é
com sinal “
” na tampa superior (normal para fora é
) e “
” na inferior (normal é
).
Como , temos para cada uma
Como
Na tampa superior (
, sinal
):
Na tampa inferior (
, normal é
, mas
): dá o mesmo valor
Passo 4
Somando todos os contributions, o fluxo total é
Passo 5
Cálculo do divergente em coordenadas cilíndricas:
para com
,
,
para
Aqui
, então
Passo 6
Verificação do teorema da divergência (Gauss):
que é exatamente o fluxo total encontrado em
Resposta
a)
,C
b) ,C/m
c) O teorema da divergência está verificado, pois both sides give .
b)
c) O teorema da divergência está verificado, pois both sides give