Dada a densidade de fluxo elétrico \boldsymbol{D}=\rho \hat{\boldsymbol{a}}_{\rho}+z \hat{\boldsymbol{a}}_{z}\left[\mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}\right], numa região do espaço livre:
a) Encontre o fluxo total através de um cilindro localizado em torno do eixo z, com raio \rho=(2) m e altura h=(4 \quad) m , centrado na origem;
b) Encontre o divergente da densidade de fluxo elétrico (\nabla \cdot \vec{D});
c) Verifique o teorema da divergência.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de fluxo elétrico
\boldsymbol{D} = \rho\,\hat{\boldsymbol{a}}_{\rho} \;+\; z\,\hat{\boldsymbol{a}}_{z} \quad[\mathrm{C}/\mathrm{m}^2]
e pede:
a) o fluxo total através de um cilindro de raio \rho=2 m e altura h=4 m, centrado na origem;
b) o divergente \nabla\cdot\boldsymbol{D};
c) a verificação do teorema da divergência (Gauss).
Vamos usar coordenadas cilíndricas e decompor a superfície em parte lateral, tampa superior e tampa inferior.

Passo 2

Fluxo pela parte lateral ( \rho=2, -2\le z\le2, 0\le\varphi\le2\pi).
Nesse caso, o elemento de área vetorial é
d\boldsymbol{S}_{\text{lat}} = \hat{\boldsymbol{a}}_{\rho}\,\bigl(\rho\,d\varphi\,dz\bigr)
e
\boldsymbol{D}\cdot\hat{\boldsymbol{a}}_{\rho} = \rho.
Como \rho=2,
\Phi_{\text{lat}} = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{-2}^{2} \rho\;(\rho\,d\varphi\,dz) = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{-2}^{2} 2\cdot(2\,d\varphi\,dz) = 4\int_{0}^{2\pi}\!\int_{-2}^{2} d\varphi\,dz =4\,(2\pi)\,(4) =32\pi.

Passo 3

Fluxo pelas tampas superior ( z=+2) e inferior ( z=-2).
Em cada tampa, o elemento de área é
d\boldsymbol{S} = \pm\hat{\boldsymbol{a}}_{z}\,(\rho\,d\rho\,d\varphi),
com sinal “ +” na tampa superior (normal para fora é +\hat{\boldsymbol{a}}_{z}) e “ -” na inferior (normal é -\hat{\boldsymbol{a}}_{z}).
Como \boldsymbol{D}\cdot\hat{\boldsymbol{a}}_{z}=z, temos para cada uma
\Phi_{\text{tampa}} = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} z\;(\rho\,d\rho\,d\varphi) \quad\text{com }z=+2\text{ ou }z=-2\text{ e sinal do normal.}
Na tampa superior ( z=+2, sinal +):
\Phi_{+} = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} 2\,(\rho\,d\rho\,d\varphi) =2\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\rho\,d\rho\,d\varphi =2\,(2\pi)\,\frac{2^2}{2} =8\pi.
Na tampa inferior ( z=-2, normal é -\hat{\boldsymbol{a}}_{z}, mas \boldsymbol{D}\cdot(-\hat{\boldsymbol{a}}_{z})=-z=+2): dá o mesmo valor
\Phi_{-}=8\pi.

Passo 4

Somando todos os contributions, o fluxo total é
\Phi_{\text{total}} =\Phi_{\text{lat}}+\Phi_{+}+\Phi_{-} =32\pi + 8\pi + 8\pi =48\pi \quad[\mathrm{C}].

Passo 5

Cálculo do divergente em coordenadas cilíndricas:
para \boldsymbol{D}=D_{\rho}\,\hat{\boldsymbol{a}}_{\rho}+D_{z}\,\hat{\boldsymbol{a}}_{z} com D_{\rho}=\rho, D_{z}=z,
\nabla\cdot\boldsymbol{D} =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho\,D_{\rho}) +\frac{1}{\rho}\frac{\partial D_{\varphi}}{\partial\varphi} +\frac{\partial D_{z}}{\partial z}.
Aqui D_{\varphi}=0, então
\nabla\cdot\boldsymbol{D} =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho^2) +0 +\frac{\partial z}{\partial z} =\frac{1}{\rho}(2\rho)+1 =2+1 =3 \quad[\mathrm{C}/\mathrm{m}^3].

Passo 6

Verificação do teorema da divergência (Gauss):
\int_{V}(\nabla\cdot\boldsymbol{D})\,dV =3\;\times\;(\text{volume do cilindro}) =3\;\times\;\bigl(\pi\,\rho^2\,h\bigr) =3\times\pi\times(2^2)\times4 =3\times16\pi =48\pi,
que é exatamente o fluxo total encontrado em

Resposta

a) \displaystyle 48\pi,C
b) \displaystyle \nabla\cdot\boldsymbol{D}=3,C/m ^3
c) O teorema da divergência está verificado, pois both sides give 48\pi.

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