Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
(1-\frac{3}{x}+y) d x+\left(1-\frac{3}{y}+x\right) d y=0
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial em forma diferencial
com
O conteúdo aqui é verificar se a equação é exata (isto é, se
) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração dependente só de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos
e igualamos a
:
Integrando em
:
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a função potencial completa:
A solução geral implícita é
onde
é constante de integração.