Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
(x+y)^{2} d x+\left(2 x y+x^{2}-1\right) d y=0, \quad y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x+y)^{2}\,dx + \bigl(2xy + x^{2} - 1\bigr)\,dy = 0
com condição inicial y(1)=1. Vamos reconhecer que é uma equação de forma exata e resolver encontrando uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = (x+y)^{2}, \quad \frac{\partial F}{\partial y} = 2xy + x^{2} - 1.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl[(x+y)^{2}\bigr] = 2\,(x+y),
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[\,2xy + x^{2} - 1\bigr] = 2y + 2x = 2\,(x+y).
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Integramos \partial F/\partial x = (x+y)^{2} em relação a x:
F(x,y) = \int (x+y)^{2}\,dx = \int \bigl(x^{2} + 2xy + y^{2}\bigr)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + x^{2}y + x\,y^{2} + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Agora impomos \partial F/\partial y = 2xy + x^{2} - 1. Calculando
\frac{\partial F}{\partial y} = x^{2} + 2xy + h'(y)
devemos ter
x^{2} + 2xy + h'(y) = 2xy + x^{2} - 1 \;\;\Longrightarrow\;\; h'(y) = -1 \;\;\Longrightarrow\;\; h(y) = -y + C_{1}.

Passo 5

A função potencial geral é
F(x,y) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2}y + x\,y^{2} - y,
e a solução implícita da equação é
\frac{x^{3}}{3} + x^{2}y + x\,y^{2} - y = C.

Passo 6

Impondo a condição y(1)=1, temos
F(1,1) = \frac{1^{3}}{3} + 1^{2}\cdot1 + 1\cdot1^{2} - 1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 - 1 = \frac{4}{3},
logo C = \tfrac{4}{3}.

Resposta

\frac{x^{3}}{3} + x^{2}y + x\,y^{2} - y = \frac{4}{3}.

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