Verifique se as equações diferenciais de segunda ordem são homogêneas ou não e as resolva: 2 y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+4 y=0, sendo y(0)=1 e y^{\prime}(0)=0
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
2y'' - 9y' + 4y = 0
é homogênea e em seguida resolver essa EDO de segunda ordem, aplicando as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. O conteúdo aqui é EDO linear homogênea com coeficientes constantes: vamos usar a equação característica e depois impor as condições iniciais.
Passo 2
Como não há termo independente (o lado direito é zero), a equação é de fato homogênea. Para resolver, escrevemos a equação característica associada:
2r^2 - 9r + 4 = 0.
Agora resolvemos essa equação do segundo grau para encontrar as raízes r.
Passo 3
Calculando o discriminante:
\Delta = (-9)^2 - 4\cdot 2\cdot 4 = 81 - 32 = 49.
Logo as raízes são
r = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2\cdot 2} = \frac{9 \pm 7}{4}.
Isso dá r_1 = \tfrac{9+7}{4} = 4 e r_2 = \tfrac{9-7}{4} = \tfrac12.
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{\tfrac12 x}.
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.