Verifique se as equações diferenciais de segunda ordem são homogêneas ou não e as resolva:
2 y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+4 y=0, sendo y(0)=1 e y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
2y'' - 9y' + 4y = 0
é homogênea e em seguida resolver essa EDO de segunda ordem, aplicando as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. O conteúdo aqui é EDO linear homogênea com coeficientes constantes: vamos usar a equação característica e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Como não há termo independente (o lado direito é zero), a equação é de fato homogênea. Para resolver, escrevemos a equação característica associada:
2r^2 - 9r + 4 = 0.
Agora resolvemos essa equação do segundo grau para encontrar as raízes r.

Passo 3

Calculando o discriminante:
\Delta = (-9)^2 - 4\cdot 2\cdot 4 = 81 - 32 = 49.
Logo as raízes são
r = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2\cdot 2} = \frac{9 \pm 7}{4}.
Isso dá r_1 = \tfrac{9+7}{4} = 4 e r_2 = \tfrac{9-7}{4} = \tfrac12.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{\tfrac12 x}.
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.

Passo 5

Primeiro, em x=0:
y(0) = C_1 + C_2 = 1.
Em seguida, derivamos y(x):
y'(x) = 4C_1 e^{4x} + \tfrac12 C_2 e^{\tfrac12 x}.
Aplicando x=0 em y':
y'(0) = 4C_1 + \tfrac12 C_2 = 0.
Assim obtemos o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 1,\\\\ 4C_1 + \tfrac12 C_2 = 0. \end{cases}

Passo 6

Resolvendo o sistema: da segunda equação,
4C_1 + \tfrac12 C_2 = 0 \;\Longrightarrow\; 8C_1 + C_2 = 0 \;\Longrightarrow\; C_2 = -8C_1.
Substituindo em C_1 + C_2 = 1:
C_1 - 8C_1 = 1 \;\Longrightarrow\; -7C_1 = 1 \;\Longrightarrow\; C_1 = -\tfrac{1}{7},
e portanto
C_2 = -8\bigl(-\tfrac{1}{7}\bigr) = \tfrac{8}{7}.

Resposta

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos
\boxed{y(x) = -\tfrac{1}{7}\,e^{4x} + \tfrac{8}{7}\,e^{\tfrac12 x}.}

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