Verifique se as equações diferenciais de segunda ordem são homogêneas ou não e as resolva:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x^{2}+x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes constantes:
y'' - y' - 2y = 3x^2 + x.
Pede para verificar se ela é homogênea e, depois, encontrar sua solução geral. Vamos usar o método padrão: primeiro resolvemos a equação homogênea associada e em seguida buscamos uma solução particular.

Passo 2

Uma equação linear é dita homogênea quando o termo independente (o segundo membro) é zero. Aqui o segundo membro é 3x^2 + x, que não é zero. Logo, a equação dada é não homogênea.

Passo 3

Resolvemos a homogênea associada
y'' - y' - 2y = 0.
Escrevemos a equação característica:
r^2 - r - 2 = 0.
Suas raízes são
r = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2},
isto é, r_1 = 2 e r_2 = -1. Portanto, a solução da parte homogênea é
y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x}.

Passo 4

Para achar uma solução particular y_p, como o lado direito é um polinômio de grau 2, suponho
y_p = Ax^2 + Bx + C.
Então
y_p' = 2Ax + B, \qquad y_p'' = 2A.

Passo 5

Substituo y_p, y_p' e y_p'' na equação original:
y_p'' - y_p' - 2y_p = 2A - (2Ax + B) - 2(Ax^2 + Bx + C).
Agrupando termos:
= -2A\,x^2 + (-2A - 2B)\,x + (2A - B - 2C).
Isso deve ser igual a 3x^2 + x. Igualando coeficientes:
Para x^2:
-2A = 3 \;\Rightarrow\; A = -\tfrac32.
Para x:
-2A - 2B = 1 \;\Rightarrow\; -2(-\tfrac32) - 2B = 1 \;\Rightarrow\; 3 - 2B = 1 \;\Rightarrow\; B = 1.
Para termo independente:
2A - B - 2C = 0 \;\Rightarrow\; 2(-\tfrac32) - 1 - 2C = 0 \;\Rightarrow\; -3 - 1 - 2C = 0 \;\Rightarrow\; C = -2.
Assim,
y_p = -\tfrac32 x^2 + x - 2.

Passo 6

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea e da particular:
y = y_h + y_p = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} - \tfrac32 x^2 + x - 2.

Resposta

y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} - \tfrac32 x^2 + x - 2.

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