Verifique se as equações diferenciais de segunda ordem são homogêneas ou não e as resolva:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes constantes:
Pede para verificar se ela é homogênea e, depois, encontrar sua solução geral. Vamos usar o método padrão: primeiro resolvemos a equação homogênea associada e em seguida buscamos uma solução particular.
Passo 2
Uma equação linear é dita homogênea quando o termo independente (o segundo membro) é zero. Aqui o segundo membro é
, que não é zero. Logo, a equação dada é não homogênea.
Passo 3
Resolvemos a homogênea associada
Escrevemos a equação característica:
Suas raízes são
isto é,
e
. Portanto, a solução da parte homogênea é
Passo 4
Para achar uma solução particular
, como o lado direito é um polinômio de grau 2, suponho
Então
Passo 5
Substituo
,
e
na equação original:
Agrupando termos:
Isso deve ser igual a
. Igualando coeficientes:
Para
:
Para
:
Para termo independente:
Assim,
Passo 6
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea e da particular: