Verifique que
3^{8} \equiv-1(\bmod 17)
Explique porque disso pode-se concluir que 3 é uma raiz primitiva de 17 .

Passo 1

O enunciado dá a informação a ser verificada e pede uma conclusão: mostrar que
3^{8}\equiv -1 \pmod{17}
e explicar por que disso se pode concluir que 3 é uma raiz primitiva de 17. Dados relevantes: o módulo é 17 (que é primo) e o número em questão é 3. A conclusão desejada é que 3 tem ordem multiplicativa igual a 16 (isto é, 3 gera o grupo multiplicativo (\mathbb{Z}/17\mathbb{Z})^\times), o que equivale a ser raiz primitiva modulo 17.

Passo 2

Primeiro verifico a congruência pedida calculando potências de 3 e reduzindo módulo 17 passo a passo (usar quadrados sucessivos torna as contas simples à mão).
Calcule 3^2:
3^2=9,
logo
3^2\equiv 9 \pmod{17}.
Calcule 3^4=(3^2)^2. Como 3^2\equiv 9, temos
3^4\equiv 9^2=81 \pmod{17}.
Agora reduzimos 81 módulo 17. Como 17\cdot4=68, segue
81-68=13,
portanto
3^4\equiv 13 \pmod{17}.

Passo 3

Agora calcule 3^8=(3^4)^2. Como 3^4\equiv 13, temos
3^8\equiv 13^2=169 \pmod{17}.
Reduzindo 169 módulo 17: 17\cdot10=170, então
169-170=-1,
ou seja
3^8\equiv -1 \pmod{17}.
Isso confirma a congruência pedida.

Passo 4

A partir de 3^8\equiv -1\pmod{17} segue imediatamente que
3^{16}=(3^8)^2\equiv (-1)^2=1 \pmod{17}.
Portanto a ordem multiplicativa de 3 modulo 17 é um divisor de 16 (pela Lema de Lagrange: a ordem de um elemento no grupo multiplicativo (\mathbb{Z}/17\mathbb{Z})^\times divide a ordem do grupo, que é 17-1=16).

Passo 5

Para concluir que 3 é raiz primitiva (ou seja, tem ordem exatamente 16) preciso verificar que nenhuma divisor próprio de 16 é a ordem de 3. Os divisores positivos de 16 são 1,2,4,8,16. Já sabemos que 3^{16}\equiv1. Mostro que para d=1,2,4,8 não temos 3^d\equiv1.
  • d=1: 3^1=3\not\equiv1\pmod{17}.
  • d=2: 3^2\equiv 9\not\equiv1\pmod{17}. (visto no Passo 2)
  • d=4: 3^4\equiv 13\not\equiv1\pmod{17}. (visto no Passo 2)
  • d=8: 3^8\equiv -1\not\equiv1\pmod{17}. (visto no Passo 3)
Como nenhum divisor próprio de 16 3^d\equiv1, a menor potência positiva de 3 que dá 1 módulo 17 é 16. Logo a ordem de 3 modulo 17 é 16.

Passo 6

Definição e conclusão: um número g é raiz primitiva modulo um primo p se sua ordem multiplicativa modulo p for p-1. Aqui p=17 e mostramos que a ordem de 3 é 16. Portanto 3 é uma raiz primitiva de 17.

Resposta

3^{8}\equiv -1 \pmod{17}
3 é raiz primitiva de 17.

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