Verifique que
Explique porque disso pode-se concluir que 3 é uma raiz primitiva de 17 .
Passo 1
O enunciado dá a informação a ser verificada e pede uma conclusão: mostrar que
e explicar por que disso se pode concluir que
é uma raiz primitiva de
. Dados relevantes: o módulo é
(que é primo) e o número em questão é
. A conclusão desejada é que
tem ordem multiplicativa igual a
(isto é,
gera o grupo multiplicativo
), o que equivale a ser raiz primitiva modulo
.
Passo 2
Primeiro verifico a congruência pedida calculando potências de
e reduzindo módulo
passo a passo (usar quadrados sucessivos torna as contas simples à mão).
Calcule
:
logo
Calcule
. Como
, temos
Agora reduzimos
módulo
. Como
, segue
portanto
Passo 3
Agora calcule
. Como
, temos
Reduzindo
módulo
:
, então
ou seja
Isso confirma a congruência pedida.
Passo 4
A partir de
segue imediatamente que
Portanto a ordem multiplicativa de
modulo
é um divisor de
(pela Lema de Lagrange: a ordem de um elemento no grupo multiplicativo
divide a ordem do grupo, que é
).
Passo 5
Para concluir que
é raiz primitiva (ou seja, tem ordem exatamente
) preciso verificar que nenhuma divisor próprio de
é a ordem de
. Os divisores positivos de
são
. Já sabemos que
. Mostro que para
não temos
.
-
: -
: (visto no Passo 2) -
: (visto no Passo 2) -
: (visto no Passo 3)
Como nenhum divisor próprio de
dá
, a menor potência positiva de
que dá
módulo
é
. Logo a ordem de
modulo
é
.
Passo 6
Definição e conclusão: um número
é raiz primitiva modulo um primo
se sua ordem multiplicativa modulo
for
. Aqui
e mostramos que a ordem de
é
. Portanto
é uma raiz primitiva de
.
Resposta
3 é raiz primitiva de
.