Seja a um inteiro. Mostre que
a^{21} \equiv a(\bmod 15).

Passo 1

O enunciado dá que a é um inteiro arbitrário e pede para mostrar a congruência
a^{21}\equiv a \pmod{15}.
Informações relevantes que vamos usar:
  • O módulo 15 fatora-se como 15=3\cdot5.
  • As normas básicas de congruência: se um inteiro x é congruente a y módulo m isso significa que m divide x-y.
  • Vamos utilizar propriedades elementares de aritmética modular (como o Pequeno Teorema de Fermat) e uma técnica padrão: provar a congruência módulo 3 e módulo 5 separadamente e depois combinar.

Passo 2

Plano claro (sem resolver ainda): como 3 e 5 são primos distintos e 15=3\cdot5, é suficiente provar
a^{21}\equiv a \pmod{3}\qquad\text{e}\qquad a^{21}\equiv a \pmod{5}.
Isso porque se a^{21}-a é múltiplo de 3 e de 5, então é múltiplo de \operatorname{lcm}(3,5)=15, logo a^{21}\equiv a\pmod{15}. Agora vamos fazer esses dois testes separadamente.

Passo 3

Prova da congruência módulo 3.
Primeiro, consideremos os dois casos possíveis para um inteiro a em relação a 3.
Caso A: 3\mid a.
Isto é, a\equiv0\pmod{3}. Então a^{21}\equiv0^{21}\equiv0\pmod{3}. Assim a^{21}\equiv a\pmod{3} porque ambos são congruentes a 0.
Caso B: \gcd(a,3)=1 (ou seja, 3\nmid a).
Aqui usamos o Pequeno Teorema de Fermat, que diz: para um primo p e inteiro a tal que p\nmid a, vale
a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}.
No nosso caso p=3, então para 3\nmid a temos a^{2}\equiv1\pmod{3}. Agora escrevemos 21 como 21=1+2\cdot10 e fatoramos:
a^{21}=a\cdot\bigl(a^{2}\bigr)^{10}.
Reducindo módulo 3,
a^{21}\equiv a\cdot 1^{10}\equiv a\pmod{3}.
Assim, nos dois casos obtemos a^{21}\equiv a\pmod{3}.
Comentário didático rápido sobre o Pequeno Teorema de Fermat: ele é uma ferramenta padrão para lidar com potências em módulos primos. Intuitivamente, se a não é múltiplo de p, os resíduos a,2a,\dots,(p-1)a modulo p formam uma permutação dos 1,2,\dots,p-1; multiplicando todos os elementos e cancelando, obtém-se a^{p-1}\equiv1\pmod p. Não é preciso saber a prova completa para aplicá-lo em provas de concurso/prova: basta conhecer a afirmação.

Passo 4

Prova da congruência módulo 5.
Novamente, dois casos:
Caso A: 5\mid a.
Então a\equiv0\pmod{5} e a^{21}\equiv0\pmod{5}. Logo a^{21}\equiv a\pmod{5}.
Caso B: \gcd(a,5)=1.
Pelo Pequeno Teorema de Fermat com p=5 temos a^{4}\equiv1\pmod{5}. Escrevemos 21 como 21=1+4\cdot5 e fatoramos:
a^{21}=a\cdot\bigl(a^{4}\bigr)^{5}.
Reduzindo módulo 5,
a^{21}\equiv a\cdot 1^{5}\equiv a\pmod{5}.
Portanto em ambos os casos a^{21}\equiv a\pmod{5}.

Passo 5

Conclusão usando os resultados dos passos anteriores.
Recapitulando, obtivemos
a^{21}\equiv a \pmod{3} \qquad\text{e}\qquad a^{21}\equiv a \pmod{5}.
Isto significa que 3 divide a^{21}-a e 5 divide a^{21}-a. Como 3 e 5 são primos distintos, seu mínimo múltiplo comum é 15. Logo 15 divide a^{21}-a, o que é exatamente a afirmação
a^{21}\equiv a \pmod{15}.
Pequena observação prática: outra maneira equivalente seria usar que para todo a coprimo a 15 vale \varphi(15)=8 e então a^{8}\equiv1\pmod{15} (teorema de Euler), mas aqui a decomposição em módulos primos e o uso direto do Pequeno Teorema de Fermat ficou mais transparente e cobre também os casos em que a não é coprimo a 15.

Resposta

\,a^{21}\equiv a\pmod{15}

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