Seja
um inteiro. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá que
é um inteiro arbitrário e pede para mostrar a congruência
Informações relevantes que vamos usar:
- O módulo
fatora-se como . - As normas básicas de congruência: se um inteiro
é congruente a módulo isso significa que divide . - Vamos utilizar propriedades elementares de aritmética modular (como o Pequeno Teorema de Fermat) e uma técnica padrão: provar a congruência módulo
e módulo separadamente e depois combinar.
Passo 2
Plano claro (sem resolver ainda): como
e
são primos distintos e
, é suficiente provar
Isso porque se
é múltiplo de
e de
, então é múltiplo de
, logo
. Agora vamos fazer esses dois testes separadamente.
Passo 3
Prova da congruência módulo
.
Primeiro, consideremos os dois casos possíveis para um inteiro
em relação a
.
Caso A:
.
Isto é, . Então
. Assim
porque ambos são congruentes a
.
Isto é,
Caso B:
(ou seja,
).
Aqui usamos o Pequeno Teorema de Fermat, que diz: para um primo e inteiro
tal que
, vale
Aqui usamos o Pequeno Teorema de Fermat, que diz: para um primo
No nosso caso
, então para
temos
. Agora escrevemos
como
e fatoramos:
Reducindo módulo
,
Assim, nos dois casos obtemos
.
Comentário didático rápido sobre o Pequeno Teorema de Fermat: ele é uma ferramenta padrão para lidar com potências em módulos primos. Intuitivamente, se
não é múltiplo de
, os resíduos
modulo
formam uma permutação dos
; multiplicando todos os elementos e cancelando, obtém-se
. Não é preciso saber a prova completa para aplicá-lo em provas de concurso/prova: basta conhecer a afirmação.
Passo 4
Prova da congruência módulo
.
Novamente, dois casos:
Caso A:
.
Então e
. Logo
.
Então
Caso B:
.
Pelo Pequeno Teorema de Fermat com temos
. Escrevemos
como
e fatoramos:
Pelo Pequeno Teorema de Fermat com
Reduzindo módulo
,
Portanto em ambos os casos
.
Passo 5
Conclusão usando os resultados dos passos anteriores.
Recapitulando, obtivemos
Isto significa que
divide
e
divide
. Como
e
são primos distintos, seu mínimo múltiplo comum é
. Logo
divide
, o que é exatamente a afirmação
Pequena observação prática: outra maneira equivalente seria usar que para todo
coprimo a
vale
e então
(teorema de Euler), mas aqui a decomposição em módulos primos e o uso direto do Pequeno Teorema de Fermat ficou mais transparente e cobre também os casos em que
não é coprimo a
.